Para cada função, calcule a derivada indicada:
f(x)=\ln \left(x^{2}-4\right), \frac{d^{2} f}{d x^{2}} ;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \ln\bigl(x^2 - 4\bigr)
e pede a segunda derivada \frac{d^2f}{dx^2}. Vamos usar a regra da cadeia para achar primeiro f'(x) e depois aplicar a regra do quociente para obter f''(x).

Passo 2

Defina u(x)=x^2-4. Então
f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr)
e, pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^2-4}.

Passo 3

Agora derivamos
f'(x)=\frac{2x}{x^2-4}
usando a regra do quociente: se v(x)=2x e w(x)=x^2-4,
f''(x) =\frac{v'(x)\,w(x)-v(x)\,w'(x)}{\bigl(w(x)\bigr)^2} =\frac{2\,(x^2-4)-2x\,(2x)}{(x^2-4)^2} =\frac{2x^2-8-4x^2}{(x^2-4)^2} =\frac{-2x^2-8}{(x^2-4)^2} =-2\,\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}.

Resposta

\frac{d^2f}{dx^2}=-2\,\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}.

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