(Valor: 3 pontos, cada item.) Considere a curva dada pela equação implícita 2 x^{3}-x^{2} y+y^{3}-1=0 e o ponto P(2,-3).
(a) Sabendo que a equação define y, implicitamente, como função de x, calcule \frac{d y}{d x};
(b) Verifique que o ponto P pertence à curva e determine a equação da reta tangente em P.
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
2x^{3}-x^{2}y+y^{3}-1=0
e pede: (a) a derivada \frac{dy}{dx} via diferenciação implícita; (b) mostrar que P(2,-3) está na curva e achar a reta tangente em P. Para (a) vamos usar regra do produto e cadeia; para (b) basta verificar a equação e usar a forma ponto-reta.
Passo 2
Derivamos ambos os lados de
2x^{3}-x^{2}y+y^{3}-1=0
em relação a x, lembrando que y=y(x).
Derivada de 2x^{3} é 6x^{2}.
De -x^{2}y aplicamos produto: \displaystyle \frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot \frac{dy}{dx}
=2x\,y + x^{2}y'.