(Valor: 3 pontos, cada item.) Considere a curva dada pela equação implícita 2 x^{3}- x^{2} y+y^{3}-1=0 e o ponto P(2,-3).
(a) Sabendo que a equação define y, implicitamente, como função de x, calcule \frac{d y}{d x};
(b) Verifique que o ponto P pertence à curva e determine a equação da reta tangente em P.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
2x^{3}-x^{2}y+y^{3}-1=0
e pede: (a) a derivada \frac{dy}{dx} via diferenciação implícita; (b) mostrar que P(2,-3) está na curva e achar a reta tangente em P. Para (a) vamos usar regra do produto e cadeia; para (b) basta verificar a equação e usar a forma ponto-reta.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
2x^{3}-x^{2}y+y^{3}-1=0
em relação a x, lembrando que y=y(x).
  • Derivada de 2x^{3} é 6x^{2}.
  • De -x^{2}y aplicamos produto:
    \displaystyle \frac{d}{dx}(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot \frac{dy}{dx} =2x\,y + x^{2}y'.
  • De y^{3} vem 3y^{2}y'.
  • De -1 vem 0.
    Somando e igualando a zero:
6x^{2} - \bigl(2x\,y + x^{2}y'\bigr) + 3y^{2}y' = 0.

Passo 3

Agrupamos os termos com y':
6x^{2} - 2x\,y - x^{2}y' + 3y^{2}y' = 0 \;\Longrightarrow\; (3y^{2}-x^{2})\,y' = 2x\,y - 6x^{2}.
Logo
\frac{dy}{dx} = y' = \frac{2x\,y - 6x^{2}}{3y^{2} - x^{2}}.

Passo 4

Verificamos P(2,-3) na curva original:
2\cdot 2^{3} - 2^{2}(-3) + (-3)^{3} -1 =16 +12 -27 -1 =0,
logo P pertence à curva.
O coeficiente angular no ponto é
m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,-3)} = \frac{2\cdot 2\cdot(-3) - 6\cdot 2^{2}}{3\cdot(-3)^{2} - 2^{2}} = \frac{-12 -24}{27 -4} = \frac{-36}{23}.

Passo 5

A reta tangente em P(2,-3) com coeficiente m=-\tfrac{36}{23} é
y - (-3) = -\frac{36}{23}\,(x - 2),
ou seja
y + 3 = -\frac{36}{23}\,x + \frac{72}{23}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2x\,y - 6x^{2}}{3y^{2} - x^{2}}.
(b) O ponto P(2,-3) satisfaz a curva e a reta tangente é
y + 3 = -\frac{36}{23}(x - 2).

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