(Valor: 4 pontos.) Esboce o gráfico de uma função f(x) sabendo que todas as condiçōes abaixo são satisfeitas:
i. As raízes de f são x=-2 e x=0;
ii. As retas y=-5 e y=5 são as assíntotas horizontais do gráfico, enquanto a reta x=-1 é a assíntota vertical do gráfico;
iii. A função f é decrescente em (-\infty,-3) \cup(3, \infty) e crescente em (-3,-1) \cup(-1,3).
iv. \lim _{x \rightarrow-3} f(x)=-7 e \lim _{x \rightarrow 3} f(x)=7

Passo 1

O enunciado pede o esboço de uma função f com as seguintes características:
– raízes em x=-2 e x=0;
– assíntotas horizontais em y=-5 e y=5 e assíntota vertical em x=-1;
f é decrescente em (-\infty,-3) e em (3,\infty), e crescente em ( -3,-1) e em ( -1,3);
\lim_{x\to -3}f(x)=-7 e \lim_{x\to 3}f(x)=7.
Vamos usar esses dados para posicionar três “galhos” do gráfico: um em x<-3, um em -3<x<-1 e outro em x>-1.

Passo 2

Atribuímos as assíntotas horizontais de modo consistente com a monotonia nos extremos:
– como f é decrescente em (-\infty,-3) e atinge -7 em x=-3^-, convém ter
\lim_{x\to -\infty}f(x)=-5,
pois dessa forma f decresce de -5 (próximo a x=-\infty) até -7.
– como f é decrescente em (3,\infty), partindo de f(3)=7 até um valor de assíntota, escolhemos
\lim_{x\to +\infty}f(x)=5,
de modo que f decresce de 7 em x=3 para 5 em +\infty.

Passo 3

Em (-\infty,-3), f é decrescente e tende a -5 quando x\to -\infty e a -7 quando x\to -3^-.
Portanto desenhamos um ramo suave que:
– se aproxima de y=-5 quando x vai a -\infty;
– decresce continuamente até o ponto imaginário (-3,-7).

Passo 4

Em (-3,-1), f é crescente, com \lim_{x\to -3^+}f(x)=-7 e \lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty. Além disso a única raiz nesse intervalo é x=-2, onde f(-2)=0.
Desenhe então um ramo que parte de (-3,-7), sobe passando em (-2,0) e vai para +\infty ao se aproximar de x=-1.

Passo 5

Em (-1,3), f é novamente crescente, com \lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty, raiz em x=0 (logo passa por (0,0)) e \lim_{x\to 3^-}f(x)=7. Em seguida, em (3,\infty), f é decrescente, saindo de 7 em x=3 e aproximando-se de y=5 quando x\to\infty.
Portanto no ramo direito:
– de x=-1^+ a x=3, o gráfico sobe de -\infty a 7, cruzando o eixo em x=0;
– de x=3 a +\infty, desce de 7 e tende a 5.

Resposta

O esboço final do gráfico de f é composto por três galhos:
  1. Para x<-3, decresce de y=-5 (assíntota) até (-3,-7).
  2. Para -3<x<-1, cresce de (-3,-7), passa em (-2,0) e vai a +\infty ao chegar em x=-1.
  3. Para -1<x<3, cresce de -\infty, cruza em (0,0) e atinge (3,7); depois, para x>3, decresce de 7 e se aproxima de y=5.

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