(Valor: 4 pontos.) Esboce o gráfico de uma função
sabendo que todas as condiçōes abaixo são satisfeitas:
i. As raízes de
são
e
;
ii. As retas
e
são as assíntotas horizontais do gráfico, enquanto a reta
é a assíntota vertical do gráfico;
iii. A função
é decrescente em
e crescente em
.
iv.
e
i. As raízes de
ii. As retas
iii. A função
iv.
Passo 1
O enunciado pede o esboço de uma função
com as seguintes características:
– raízes em e
;
– assíntotas horizontais em e
e assíntota vertical em
;
– é decrescente em
e em
, e crescente em
e em
;
– e
.
Vamos usar esses dados para posicionar três “galhos” do gráfico: um em , um em
e outro em
.
– raízes em
– assíntotas horizontais em
–
–
Vamos usar esses dados para posicionar três “galhos” do gráfico: um em
Passo 2
Atribuímos as assíntotas horizontais de modo consistente com a monotonia nos extremos:
– como é decrescente em
e atinge
em
, convém ter
– como
pois dessa forma
decresce de
(próximo a
) até
.
– como é decrescente em
, partindo de
até um valor de assíntota, escolhemos
– como
de modo que
decresce de
em
para
em
.
Passo 3
Em
,
é decrescente e tende a
quando
e a
quando
.
Portanto desenhamos um ramo suave que:
– se aproxima de quando
vai a
;
– decresce continuamente até o ponto imaginário .
Portanto desenhamos um ramo suave que:
– se aproxima de
– decresce continuamente até o ponto imaginário
Passo 4
Em
,
é crescente, com
e
. Além disso a única raiz nesse intervalo é
, onde
.
Desenhe então um ramo que parte de , sobe passando em
e vai para
ao se aproximar de
.
Desenhe então um ramo que parte de
Passo 5
Em
,
é novamente crescente, com
, raiz em
(logo passa por
) e
. Em seguida, em
,
é decrescente, saindo de
em
e aproximando-se de
quando
.
Portanto no ramo direito:
– de a
, o gráfico sobe de
a
, cruzando o eixo em
;
– de a
, desce de
e tende a
.
Portanto no ramo direito:
– de
– de
Resposta
O esboço final do gráfico de
é composto por três galhos:
- Para
, decresce de (assíntota) até . - Para
, cresce de , passa em e vai a ao chegar em . - Para
, cresce de , cruza em e atinge ; depois, para , decresce de e se aproxima de .