Para cada função, calcule a derivada indicada:
y=x^{2} \cos (x)+5 \operatorname{tg}(\sqrt{x}), y^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^{2}\cos(x) + 5\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Para isso vamos usar duas ferramentas principais de diferenciação:
– a regra do produto para x^{2}\cos(x),
– a regra da cadeia para \tan(\sqrt{x}).

Passo 2

Derivando o primeiro termo x^{2}\cos(x) pela regra do produto: seja
u(x) = x^{2},\quad v(x)=\cos(x).
Temos
u'(x)=2x,\quad v'(x)=-\sin(x),
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\bigl(x^{2}\cos(x)\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 2x\cos(x) - x^{2}\sin(x).

Passo 3

Derivando o segundo termo 5\tan(\sqrt{x}) pela regra da cadeia: seja
w(x)=\sqrt{x},\quad z(w)=\tan(w).
Então
w'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad z'(w)=\operatorname{sec}^{2}(w),
e por composição
\bigl(\tan(\sqrt{x})\bigr)' = z'\bigl(w(x)\bigr)\,w'(x) = \operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Multiplicando pelo fator 5,
\bigl(5\tan(\sqrt{x})\bigr)' = \frac{5}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr).

Passo 4

Somando as duas derivadas obtidas, chegamos a
y' = 2x\cos(x) - x^{2}\sin(x) \;+\;\frac{5}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr).

Resposta

y' = 2x\cos(x) - x^{2}\sin(x) \;+\;\frac{5}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr).

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