Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(x^{2}+2\right) \operatorname{sen}(3 x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\bigl(x^{2}+2\bigr)\,\sin(3x)}{x}.
O conteúdo aqui é limite com função trigonométrica, em que usamos o fato de que
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Verificamos a indeterminação ao substituir x=0: o numerador fica \bigl(0^{2}+2\bigr)\sin(0)=2\cdot0=0 e o denominador é 0, ou seja, temos forma 0/0.

Passo 3

Reescrevemos o quociente isolando a parte \sin(3x)/x:
\frac{(x^{2}+2)\,\sin(3x)}{x} =(x^{2}+2)\,\frac{\sin(3x)}{x}.

Passo 4

Para aplicar o limite usamos
\frac{\sin(3x)}{x} =3\;\frac{\sin(3x)}{3x},
e sabemos que \lim_{x\to0}\sin(3x)/(3x)=1. Além disso, \lim_{x\to0}(x^{2}+2)=2. Logo,
\lim_{x\to0}(x^{2}+2)\,\frac{\sin(3x)}{x} =2\cdot\lim_{x\to0}\Bigl[3\;\frac{\sin(3x)}{3x}\Bigr] =2\cdot3\cdot1.

Passo 5

Fazendo a multiplicação final, obtemos
2\cdot3\cdot1=6.

Resposta

6

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