Para cada função, calcule f^prime(x) :
(n) ; f(x)=(x^2+2 x+1x+1x^2) cdot(3 x^4+5 x) cdot ln x cdot raizx

Passo 1

Nesse exercício, temos a função definida por produto de quatro fatores:
u(x)=x^2+2x+1x+1x^2,
com
v(x)=3x^4+5x,
w(x)=ln x,
z(x)=raizx=x^1/2
O conteúdo envolve derivada de produto de várias funções; vamos usar diferenciação logarítmica para simplificar.

Passo 2

Para fazer diferenciação logarítmica, escrevemos
ln f(x)=ln u(x)+ln v(x)+ln w(x)+ln z(x)
Derivando ambos os lados, obtemos
f'(x)f(x)=u'(x)u(x)+v'(x)v(x)+w'(x)w(x)+z'(x)z(x)

Passo 3

Agora calculamos cada derivada:
u'(x)=2x+2-1x^2-2x^3,
v'(x)=12x^3+5,
w'(x)=1x,
z'(x)=12x^-1/2

Passo 4

Substituímos no resultado da log-derivada:
f'(x)f(x)=2x+2-1x^2-2x^3x^2+2x+1x+1x^2+12x^3+53x^4+5x+1x+12x
Note que 1x+12x=32x.

Passo 5

Por fim, multiplicamos por f(x) para obter a derivada:
f'(x)=f(x)l[2x+2-1x^2-2x^3x^2+2x+1x+1x^2+12x^3+53x^4+5x+32xr]

Resposta

f'(x)=l(x^2+2x+tfrac1x+tfrac1x^2r),(3x^4+5x),ln x,raizx;times gl[2x+2-tfrac1x^2-tfrac2x^3x^2+2x+tfrac1x+tfrac1x^2+12x^3+53x^4+5x+32xgr]

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