Nos itens abaixo, encontre os extremos relativos de f no intervalo dado, classificando-os. A seguir, diga, justificando, se tais extremos são também absolutos no referido intervalo.
f(x)=x^2+1x^2-1, (-1,1)

Passo 1

Nesse exercício vamos encontrar os extremos relativos de f(x)=x^2+1x^2-1 no intervalo (-1,1) e verificar se esses pontos são também extremos absolutos. O conteúdo envolve derivadas, pontos críticos e classificação de máximos e mínimos.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para obter a derivada e simplificamos:
f'(x)=(2x)(x^2-1)-(x^2+1)(2x)(x^2-1)^2=-4x(x^2-1)^2

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, igualamos f'(x)=0. Como o denominador não zera em (-1,1), basta resolver -4x=0, resultando em x=0.

Passo 4

Classificamos o ponto crítico analisando o sinal de f'(x). Como (x^2-1)^2>0 sempre, o sinal de f'(x)=-4x(x^2-1)^2 é o oposto do de x. Então em x<0 temos f'>0 (crescente) e em x>0 temos f'<0 (decrescente), indicando que x=0 é um máximo relativo com valor f(0)=-1.

Passo 5

Para checar extremos absolutos, avaliamos os limites nas bordas:
limxto -1^+f(x)=limxto 1^-f(x)=-infty.
Como não há valor mínimo finito, mas f(0)=-1 é o maior valor atingido em (-1,1), ele é também máximo absoluto e não há mínimo absoluto.

Resposta

Máximo relativo em x=0 com valor -1, que é também máximo absoluto. Não há mínimo relativo nem mínimo absoluto.

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