Cada função f dada abaixo é suposta 2 pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 pi, 2 pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x=pm pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
f(x)=l1,-pi / 2<x<pi / 2 -1, pi / 2<x<3 pi / 2

Passo 1

O enunciado define uma função
Precisamos (i) esboçar , (ii) calcular os limites laterais em e em e (iii) obter a série de Fourier de . Usaremos simetria (a função é par e apresenta meia-onda antissimétrica) para simplificar o cálculo dos coeficientes.

Passo 2

Esboço de f em [-2pi,2pi]:
Em cada período de comprimento 2pi, f vale +1 no intervalo aberto l(-tfracpi2,tfracpi2r) e vale -1 em l(tfracpi2,tfrac3pi2r). Repetindo isso para xin[-2pi,2pi] temos um “onda quadrada” que alterna entre +1 e -1 a cada salto em x=kpi+tfracpi2.

Passo 3

Cálculo dos limites laterais:
  1. Em x=0: para xto0^- e xto0^+ estamos no ramo em que f(x)=1, logo
limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x)=1
  1. Em x=pi: este ponto está no interior do intervalo onde f(x)=-1, portanto
limxtopi^-f(x) =limxtopi^+f(x)=-1
  1. Em x=-pi: como -piequivpipmod2pi, também fica no ramo f=-1, e assim
limxto(-pi)^-f(x) =limxto(-pi)^+f(x)=-1

Passo 4

Cálculo da série de Fourier. Por simetria vemos que f é par, logo todos os coeficientes bn se anulam. Também a média sobre um período é zero, então a0=0. Para n>=1,
an =1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx
Dividindo em três trechos xin[-pi,-tfracpi2], [-pi/2,tfracpi2] e [tfracpi2,pi], onde f=-1, +1, -1 respectivamente, e usando cos par, obtém-se
an =1pil[underbraceintegral-tfracpi2^tfracpi21cdotcos(nx),dxI1 +underbraceintegral-pi^-tfracpi2(-1)cos(nx),dx +integraltfracpi2^pi(-1)cos(nx),dxI2r]
Calcula-se
I1 =2integral0^tfracpi2cos(nx),dx =2nsinl(tfracnpi2r),
I2 =-2integraltfracpi2^picos(nx),dx =-2l[sin(npi)-sin(tfracnpi2)nr] =2nsinl(tfracnpi2r)
Somando I1+I2 e dividindo por pi
an =1pil(2nsinnpi2+2nsinnpi2r) =4npi,sin!l(tfracnpi2r)

Passo 5

Observando que sinl(tfracnpi2r)=0 para n par e sinl(tfrac(2m+1)pi2r)=(-1)^m, concluímos que só ficam termos ímpares n=2m+1. Assim a série de Fourier final é
f(x) =summ=0^inftya2m+1cosl((2m+1)xr), a2m+1 =4(2m+1)pi(-1)^m,
ou seja
boxed f(x) =summ=0^infty4(-1)^m(2m+1),pi, cosl((2m+1)xr)

Resposta

Os limites laterais são
limxto0^pmf(x)=1, limxto(pmpi)^pmf(x)=-1,
e a série de Fourier é
f(x) =summ=0^infty4(-1)^m(2m+1),pi, cosl((2m+1)xr)

Exercícios relacionados