Cada função dada abaixo é suposta -periódica. Esboce seu gráfico no intervalo , calcule seus limites laterais nos pontos e e, por fim, encontre sua série de Fourier:
Passo 1
O enunciado define uma função
Precisamos (i) esboçar , (ii) calcular os limites laterais em e em e (iii) obter a série de Fourier de . Usaremos simetria (a função é par e apresenta meia-onda antissimétrica) para simplificar o cálculo dos coeficientes.
Passo 2
Esboço de f em [-2pi,2pi]:
Em cada período de comprimento 2pi, f vale +1 no intervalo aberto l(-tfracpi2,tfracpi2r) e vale -1 em l(tfracpi2,tfrac3pi2r). Repetindo isso para xin[-2pi,2pi] temos um “onda quadrada” que alterna entre +1 e -1 a cada salto em x=kpi+tfracpi2.
Passo 3
Cálculo dos limites laterais:
Em x=0: para xto0^- e xto0^+ estamos no ramo em que f(x)=1, logo
limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x)=1
Em x=pi: este ponto está no interior do intervalo onde f(x)=-1, portanto
limxtopi^-f(x) =limxtopi^+f(x)=-1
Em x=-pi: como -piequivpipmod2pi, também fica no ramo f=-1, e assim
limxto(-pi)^-f(x) =limxto(-pi)^+f(x)=-1
Passo 4
Cálculo da série de Fourier. Por simetria vemos que f é par, logo todos os coeficientes bn se anulam. Também a média sobre um período é zero, então a0=0. Para n>=1,
an =1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx
Dividindo em três trechos xin[-pi,-tfracpi2], [-pi/2,tfracpi2] e [tfracpi2,pi], onde f=-1, +1, -1 respectivamente, e usando cos par, obtém-se
an =1pil[underbraceintegral-tfracpi2^tfracpi21cdotcos(nx),dxI1 +underbraceintegral-pi^-tfracpi2(-1)cos(nx),dx +integraltfracpi2^pi(-1)cos(nx),dxI2r]
an =1pil(2nsinnpi2+2nsinnpi2r) =4npi,sin!l(tfracnpi2r)
Passo 5
Observando que sinl(tfracnpi2r)=0 para n par e sinl(tfrac(2m+1)pi2r)=(-1)^m, concluímos que só ficam termos ímpares n=2m+1. Assim a série de Fourier final é