Cada função f dada abaixo é suposta 2 pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 pi, 2 pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x=pm pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:

Passo 1

Vamos desenhar a extensão 2π-periódica da função definida por f(x)=0 em (-π,0) e f(x)=x em [0,π).
Como é 2π-periódica, basta copiar esse «semicírculo» de altura linear em [0,π) e valor zero em (–π,0) para cada intervalo de comprimento 2π. No intervalo [–2π,–π) a função cresce linearmente de 0 até π (pois f(x)=x+2π lá), em [–π,0) vale zero, em [0,π) sobe de 0 a π, em [π,2π) volta a zero e assim por diante.

Passo 2

Para os limites laterais usamos a periodicidade no entorno dos pontos críticos: 1) Em x=0 temos f(0–)=0 (vindo de (–π,0)) e f(0+)=0 (vindo de [0,π)), logo não há salto.
2) Em x=π: f(π–)=π (no trecho [0,π)) e f(π+)=0 (pois π+ε cai em (π,2π) onde f repete o trecho (–π,0)).
3) Em x=–π: f((–π)–)=π (pois (–π)–ε em [–2π,–π) dá f(x)=x+2π≈π) e f((–π)+)=0 (em (–π,0)).

Passo 3

Para achar a série de Fourier escrevemos f(x)=a0/2+Σ_{n=1}∞[an cos(nx)+bn sin(nx)] com
  • a0=(1/π)∫_{–π}{π}f(x)dx=(1/π)∫_{0}{π}x dx=π/2.
  • an=(1/π)∫_{–π}{π}f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫_{0}{π}x cos(nx)dx. Integramos por partes e obtemos
integral0^pixcos(nx)dx=(-1)^n+1n^2 Assim an=(-1)^n+1pi n^2, que vale zero para n ímpar e 2/(pi n^2) para n par.
  • bn=(1/π)∫_{–π}{π}f(x)sin(nx)dx=(1/π)∫_{0}{π}x sin(nx)dx. Outra vez por partes: integral0^pixsin(nx)dx=-pi(-1)^nn Logo bn=(-1)^n+1n

Passo 4

Juntando tudo, a série de Fourier fica: f(x)=pi4+sumn=1^inftyl((-1)^n+1pi n^2cos(nx)+(-1)^n+1nsin(nx)r)

Resposta

Limites laterais:
f(x)=pi4+sumn=1^inftyl((-1)^n+1pi n^2cos(nx)+(-1)^n+1nsin(nx)r)

Série de Fourier:

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