Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço:
* f(x, y)=ln (2 x^2+y^2-1)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=lnl(2x^2+y^2-1r)
e um esboço desse domínio no plano (x,y). Para isso precisamos lembrar que o logaritmo natural só está definido quando o argumento é estritamente positivo, ou seja,
2x^2+y^2-1>0

Passo 2

Impondo a condição de existência de ln, temos
2x^2+y^2-1>0
que equivale a
2x^2+y^2>1

Passo 3

Portanto o domínio D de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que
2x^2+y^2>1

Passo 4

A curva de fronteira dada pela igualdade
2x^2+y^2=1
é uma elipse centrada na origem. Para vê-la em forma padrão, dividimos por 1:
x^2tfrac12+y^21=1
Logo os semi-eixos são
ax=raiztfrac12=1raiz2, ay=1
Como precisamos de 2x^2+y^2>1, o domínio é a parte exterior a essa elipse (a fronteira não entra porque o “>” é estrito).

Passo 5

Esboço do domínio no plano :
A linha tracejada representa a elipse (não incluída) e a região externa sombreada é o domínio de .

Resposta

O domínio de f é
D=l(x,y)inR^2mid 2x^2+y^2>1r,
que geometricamente corresponde à parte do plano fora da elipse 2x^2+y^2=1.

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