Seja
.
Verifique que
é contínua em
.
Verifique que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar que sua derivada
é contínua em todo
. Vamos usar a regra do somatório e a regra da cadeia para obter
, e depois analisar a continuidade de sua expressão.
Passo 2
Derivando termo a termo, temos
- A derivada de
é . - Para
, aplicamos a regra da cadeia:
Portanto,
Passo 3
Observe que o denominador
é sempre positivo para todo
. Logo a função
é quociente de funções contínuas com denominador nunca nulo, portanto é contínua em
. Como
é constante contínua, a soma
é também contínua em todo
.
Resposta
A derivada é
e, por ser combinação de funções contínuas com denominador sempre não nulo,
é contínua em
.