Seja f(x)=2 x-raizx^2+3, forall x in R.
Verifique que f^prime é contínua em R.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=2x-raizx^2+3, xinR,
e pede para verificar que sua derivada f'(x) é contínua em todo R. Vamos usar a regra do somatório e a regra da cadeia para obter f', e depois analisar a continuidade de sua expressão.

Passo 2

Derivando termo a termo, temos
  1. A derivada de 2x é 2.
  2. Para raizx^2+3=(x^2+3)^1/2, aplicamos a regra da cadeia: ddxraizx^2+3 =12(x^2+3)^-1/2cdotddx(x^2+3) =12(x^2+3)^-1/2cdot2x =xraizx^2+3
Portanto,
f'(x)=2-xraizx^2+3

Passo 3

Observe que o denominador raizx^2+3 é sempre positivo para todo xinR. Logo a função
x;longmapsto;xraizx^2+3
é quociente de funções contínuas com denominador nunca nulo, portanto é contínua em R. Como 2 é constante contínua, a soma
f'(x)=2-xraizx^2+3
é também contínua em todo R.

Resposta

A derivada é
f'(x)=2-xraizx^2+3
e, por ser combinação de funções contínuas com denominador sempre não nulo, f' é contínua em R.

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