Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço:
f(x, y)=\sqrt[3]{x-y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x,y)=\sqrt[3]{x-y}\,:
  1. Determinar o domínio de f.
  2. Fazer um esboço do gráfico de z=f(x,y).
    Para isso vamos lembrar que a raiz de índice ímpar está definida para qualquer número real e que podemos explorar seções e curvas de nível para desenhar a superfície.

Passo 2

Como a raiz cúbica aceita qualquer radicando real, não há restrição sobre x-y. Logo o domínio de f é todo o plano \mathbb{R}^2, isto é,
\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^2.

Passo 3

Para esboçar o gráfico de z=\sqrt[3]{x-y} podemos usar duas ideias:
  1. Seções planas: fixando y=y_0 obtemos em cada plano paralelo ao eixo xz a curva
    z=\sqrt[3]{x - y_0}, que é o gráfico da função cúbica inversa em x, com cunha suave e ponto de inflexão em x=y_0. À medida que mudamos y_0, essa curva simplesmente se desloca ao longo do eixo x.
  2. Curvas de nível: escolher um valor constante c para z, de modo que
c=\sqrt[3]{x-y} \quad\Longrightarrow\quad x-y=c^3 \quad\Longrightarrow\quad y=x-c^3.
No plano xy, cada curva de nível é uma reta de coeficiente angular 1, deslocada verticalmente por -c^3.
Combinando essas seções e curvas de nível, obtemos uma superfície que em cada direção paralela a (1,1,0) (ou seja, mantendo x-y constante) é uma reta, enquanto na direção de (1,0,0) segue a forma típica de \sqrt[3]{u}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2.
Esboço: superfície definida por z=\sqrt[3]{x-y}, que é obtida tomando a curva z=\sqrt[3]{u} no plano u,z e extrudando-a ao longo da direção perpendicular, de modo que cada reta de nível em xy seja y=x-c^3.

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