Esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} tais que:
x+2 y+3 z=1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que satisfazem
x + 2y + 3z = 1.
Este é o estudo de uma superfície plana no espaço, parte da geometria analítica: toda equação linear em x,y,z define um plano. Para desenhá-lo, vamos usar o vetor normal ao plano e seus pontos de interseção com os eixos coordenados.

Passo 2

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelos coeficientes de x,y,z na equação. Assim,
\mathbf{n} = (1,2,3).
Este vetor indica a direção perpendicular ao plano.

Passo 3

Vamos calcular os interceptos com cada eixo, obtendo três pontos que pertencem ao plano e permitem o esboço:
  1. Interseção com o eixo x: faça y=0 e z=0.
x + 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Ponto A=(1,0,0).
  1. Interseção com o eixo y: faça x=0 e z=0.
0 + 2y + 3\cdot 0 = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac12.
Ponto B=(0,\tfrac12,0).
  1. Interseção com o eixo z: faça x=0 e y=0.
0 + 2\cdot 0 + 3z = 1 \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac13.
Ponto C=(0,0,\tfrac13).

Passo 4

Para esboçar o plano, siga estes passos práticos:
  1. Desenhe os três eixos x, y e z mutuamente perpendiculares.
  2. Marque e aponte A=(1,0,0) no eixo x, B=(0,\tfrac12,0) no y e C=(0,0,\tfrac13) no z.
  3. Una A, B e C formando um triângulo; essa face triangular é parte do plano.
  4. Prolongue essa face em todas as direções: o plano é infinito, mas o triângulo intercepta bem seus limites iniciais.

Resposta

A superfície é o plano
x + 2y + 3z = 1,
que intercepta os eixos em
A=(1,0,0),\quad B=(0,\tfrac12,0),\quad C=(0,0,\tfrac13),
e pode ser esboçado conectando esses três pontos e prolongando a face triangular resultante.

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