Esboce e parametrize cada conjunto C \subset \mathbb{R}^{2} como uma curva:
C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x y=1, x<0\right. e \left.y>-10\right\}

Passo 1

O enunciado define
C = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\,y = 1,\;x<0,\;y>-10\bigr\}.
Esse é um ramo da hipérbole xy=1 (ou seja, y=1/x) no terceiro quadrante, mas truncado pela condição adicional y>-10. Vamos esboçar esse ramo e encontrar uma parametrização natural.

Passo 2

Da equação implícita x\,y=1 obtemos
y = \frac1x.
Como x<0 segue y<0. A condição y>-10 impõe
\frac1x > -10.
Como x<0, ao multiplicar dos dois lados por x (negativo) inverte-se o sinal, ficando
1 < -10\,x \quad\Longrightarrow\quad x < -\frac1{10}.
Logo o domínio de x é
x \in \bigl(-\infty,\,-\tfrac{1}{10}\bigr).

Passo 3

Escolhemos como parâmetro t = x. Definimos a parametrização
r\colon\bigl(-\infty,-\tfrac{1}{10}\bigr)\to\mathbb{R}^2, \qquad r(t) = \bigl(t,\tfrac1t\bigr).
Para todo t<-\tfrac1{10} temos x=t<0, y=1/t<0 e y> -10, e claro x\,y=1.

Passo 4

Esboço do ramo parametrizado:
  • Quando t\to -\infty, temos y=1/t\to 0^-. A curva aproxima-se do eixo x por baixo.
  • Quando t\to -\tfrac1{10}^-, temos y=1/t\to -10^+. A curva termina perto do ponto \bigl(-\tfrac1{10},-10\bigr).
  • As assíntotas são x=0 e y=0.
    Portanto vemos um ramo da hipérbole no terceiro quadrante, estendendo-se de perto de (0^-,0^-) até perto de \bigl(-\tfrac1{10},-10\bigr).

Resposta

A parametrização de C é
r(t) = \bigl(t,\tfrac1t\bigr), \quad t\in\bigl(-\infty,-\tfrac{1}{10}\bigr).

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