Esboce e parametrize cada conjunto
como uma curva:
e
Passo 1
O enunciado define
Esse é um ramo da hipérbole
(ou seja,
) no terceiro quadrante, mas truncado pela condição adicional
. Vamos esboçar esse ramo e encontrar uma parametrização natural.
Passo 2
Da equação implícita
obtemos
Como
segue
. A condição
impõe
Como
, ao multiplicar dos dois lados por
(negativo) inverte-se o sinal, ficando
Logo o domínio de
é
Passo 3
Escolhemos como parâmetro
. Definimos a parametrização
Para todo
temos
,
e
, e claro
.
Passo 4
Esboço do ramo parametrizado:
- Quando
, temos . A curva aproxima-se do eixo por baixo. - Quando
, temos . A curva termina perto do ponto . - As assíntotas são
e .
Portanto vemos um ramo da hipérbole no terceiro quadrante, estendendo-se de perto deaté perto de .
Resposta
A parametrização de
é