Considere a curva \gamma(t)=\left(\sin t, \operatorname{sec} ^{2} t-1\right) \operatorname{com} t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). Encontre, se possível, sua forma cartesiana implícita e determine se essa imagem está contida em uma curva de nível de f indicando qual é o nível.

Passo 1

O enunciado dá a curva \gamma(t)=\bigl(\sin t,\;\operatorname{sec}^{2}t-1\bigr)
com t\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Queremos eliminar o parâmetro t para obter sua forma cartesiana implícita e identificar se essa curva é um nível de alguma função f.

Passo 2

Note que \operatorname{sec}^{2}t - 1 = \tan^{2}t.
Logo, denotando as componentes de \gamma por
x=\sin t, \qquad y=\operatorname{sec}^{2}t-1,
temos imediatamente
y = \tan^{2}t.

Passo 3

Usando x=\sin t e a identidade \tan^{2}t = \dfrac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t}, obtemos
y = \frac{\sin^{2}t}{\cos^{2}t} = \frac{x^{2}}{1 - x^{2}}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (1 - x^{2}), chega-se à forma implícita
(1 - x^{2})\,y = x^{2},
que pode ser reescrita como
(1 - x^{2})\,y - x^{2} = 0.

Passo 5

Definindo
f(x,y) = (1 - x^{2})\,y - x^{2},
vemos que a imagem de \gamma está contida exatamente no nível
f(x,y) = 0.

Resposta

A forma cartesiana implícita é
(1 - x^{2})\,y - x^{2} = 0
e essa curva é o nível 0 da função f(x,y)=(1 - x^{2})\,y - x^{2}.

Exercícios relacionados