Dispondo-se de material suficiente para construir
de parede, pretende-se construir muros para cercar a maior área retangular possível de modo que três dos lados desta área terão muros de
de altura e o quarto lado apenas
de altura. Determine as medidas dos lados desta área retangular ótima.
Passo 1
O problema pede o retângulo de lados
e
que maximiza a área
, sujeito à quantidade de alvenaria disponível. Três lados têm altura de
m e o quarto lado tem altura de
m, e sabemos que a área total de parede é
. Vamos usar cálculo de otimização com derivadas.
Passo 2
Expressamos a área de muro em função de
e
. Dois lados de comprimento
têm altura
m, um lado de comprimento
tem altura
m e o outro lado de comprimento
tem altura
m. Logo,
Como dispomos de
de alvenaria, impomos
Passo 3
Isolamos
em função de
:
Passo 4
A área do terreno é
Para maximizar
, vamos calcular a derivada
.
Passo 5
Derivando e igualando a zero:
O domínio viável vem de
, isto é
, e
está dentro.
Passo 6
Com
, obtemos
Além disso,
confirmando que é máximo.
Resposta
O retângulo de área máxima tem lados de
m e de
m.