Dispondo-se de material suficiente para construir 200 m^{2} de parede, pretende-se construir muros para cercar a maior área retangular possível de modo que três dos lados desta área terão muros de 3 m de altura e o quarto lado apenas 2 m de altura. Determine as medidas dos lados desta área retangular ótima.

Passo 1

O problema pede o retângulo de lados x e y que maximiza a área A=xy, sujeito à quantidade de alvenaria disponível. Três lados têm altura de 3 m e o quarto lado tem altura de 2 m, e sabemos que a área total de parede é 200 m^{2}. Vamos usar cálculo de otimização com derivadas.

Passo 2

Expressamos a área de muro em função de x e y. Dois lados de comprimento y têm altura 3 m, um lado de comprimento x tem altura 3 m e o outro lado de comprimento x tem altura 2 m. Logo,
\text{Área do muro} = 2y\cdot3 + x\cdot3 + x\cdot2 = 6y + 5x.Á
Como dispomos de 200 m^{2} de alvenaria, impomos
6y + 5x = 200.

Passo 3

Isolamos y em função de x:
y = \frac{200 - 5x}{6}.

Passo 4

A área do terreno é
A(x) = x\,y = x\;\frac{200 - 5x}{6} = \frac{200x - 5x^2}{6}.
Para maximizar A, vamos calcular a derivada A'(x).

Passo 5

Derivando e igualando a zero:
A'(x) = \frac{200 - 10x}{6} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 200 - 10x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 20.
O domínio viável vem de y\ge0, isto é 200-5x\ge0\Rightarrow x\le40, e x=20 está dentro.

Passo 6

Com x=20, obtemos
y = \frac{200 - 5\cdot20}{6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}.
Além disso,
A''(x) = -\frac{10}{6} < 0,
confirmando que é máximo.

Resposta

O retângulo de área máxima tem lados de 20 m e de \tfrac{50}{3} m.

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