Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
y=x^2x^2+3

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x^2x^2 + 3
com domínio R, e pede:
1. Intervalos de crescimento e decrescimento
2. Valores máximos e mínimos locais
3. Intervalos de concavidade para cima e para baixo
4. Pontos de inflexão
Para isso, vamos precisar da primeira derivada y' (para monotonicidade e extremos) e da segunda derivada y'' (para concavidade e inflexões).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada por quociente:
y' = ddx!l(x^2x^2+3r) = 2x(x^2+3) - x^2cdot 2x(x^2+3)^2 = 6x(x^2+3)^2
O denominador (x^2+3)^2 é sempre positivo, logo o sinal de y' é o mesmo de 6x. Assim:
  • y'=0 em x=0.
  • Para x<0, y'<0 Rightarrow função decresce em (-infty,0).
  • Para x>0, y'>0 Rightarrow função cresce em (0,infty).

Passo 3

Em x=0 temos y'=0 e a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. O valor é
y(0) = 0^20^2+3 = 0
Não há outro ponto crítico, portanto não existem máximos locais.

Passo 4

Agora a segunda derivada. Partindo de
y' = 6x,(x^2+3)^-2,
usamos a regra do produto e a cadeia:
y'' = 6,(x^2+3)^-2 + 6xcdot(-2)(x^2+3)^-3cdot 2x = 6(x^2+3) - 24x^2(x^2+3)^3 = 18 - 18x^2(x^2+3)^3 = 18,(1 - x^2)(x^2+3)^3
Zerando o numerador 1 - x^2 = 0 Rightarrow x = pm1. Como (x^2+3)^3>0, o sinal de y'' é o de (1 - x^2). Logo:
  • y''>0 se |x|<1 Rightarrow concavidade para cima em (-1,1).
  • y''<0 se |x|>1 Rightarrow concavidade para baixo em (-infty,-1)cup(1,infty).
    Em x=pm1 há ponto de inflexão. Os valores são
y(pm1) = 11+3 = tfrac14

Resposta

Intervalos de crescimento: (0,infty)
Intervalos de decrescimento: (-infty,0)
Mínimo local: em l(0,0r)
Sem máximos locais
Concavidade para cima: (-1,1)
Concavidade para baixo: (-infty,-1)cup(1,infty)
Pontos de inflexão: l(-1,tfrac14r) e l(1,tfrac14r)

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