Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio
, e pede:
. Intervalos de crescimento e decrescimento
. Valores máximos e mínimos locais
. Intervalos de concavidade para cima e para baixo
. Pontos de inflexão
Para isso, vamos precisar da primeira derivada
(para monotonicidade e extremos) e da segunda derivada
(para concavidade e inflexões).
Passo 2
Calculamos a primeira derivada por quociente:
O denominador
é sempre positivo, logo o sinal de
é o mesmo de
. Assim:
-
em . - Para
, função decresce em . - Para
, função cresce em .
Passo 3
Em
temos
e a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. O valor é
Não há outro ponto crítico, portanto não existem máximos locais.
Passo 4
Agora a segunda derivada. Partindo de
usamos a regra do produto e a cadeia:
Zerando o numerador
. Como
, o sinal de
é o de
. Logo:
-
se concavidade para cima em . -
se concavidade para baixo em .
Emhá ponto de inflexão. Os valores são
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Mínimo local: em
Sem máximos locais
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão: e
Intervalos de decrescimento:
Mínimo local: em
Sem máximos locais
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão: