Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
. Intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais;
. Intervalos de concavidade (côncava para cima e para baixo) e pontos de inflexão.
Vamos usar derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.
Vamos usar derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.
Passo 2
Determinamos primeiro o domínio e a derivada primeira.
O denominador anula-se em
e
, então
O denominador
Usando a regra do quociente, com
obtém-se
Passo 3
Como
em todo o domínio e
com igualdade só em
(fora do domínio), temos
Logo,
é crescente em cada um desses três intervalos e não há pontos onde
mude de sinal. Portanto não existem máximos nem mínimos locais.
Passo 4
Para a concavidade calculamos a derivada segunda. Partindo de
obtém-se, após simplificar,
Fatorando
e cancelando
(já que
), vem
Passo 5
O sinal de
depende apenas de
:
- Se
, então e : função côncava para baixo em . - Se
, então e : função côncava para cima em e em .
Passo 6
Ponto de inflexão ocorre onde
ou muda de sinal. Aqui
nunca se anula e a mudança de concavidade ocorre apenas em
, ponto onde a função não está definida. Portanto não há pontos de inflexão no domínio.
Resposta
Intervalos de crescimento:
,
e
.
Não há intervalos de decrescimento.
Não existem máximos nem mínimos locais.
Concavidade para cima: e
.
Concavidade para baixo: .
Não há pontos de inflexão.
Não há intervalos de decrescimento.
Não existem máximos nem mínimos locais.
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Não há pontos de inflexão.