Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
y=x-x^22-3 x+x^2

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x - x^22 - 3x + x^2
e pede:
1. Intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais;
2. Intervalos de concavidade (côncava para cima e para baixo) e pontos de inflexão.
Vamos usar derivada primeira para monotonicidade e derivada segunda para concavidade.

Passo 2

Determinamos primeiro o domínio e a derivada primeira.
O denominador 2 - 3x + x^2 anula-se em x=1 e x=2, então
Domínio = Rsetminus1,2 í
Usando a regra do quociente, com
u = x - x^2, u' = 1 - 2x,
v = x^2 - 3x + 2, v' = 2x - 3,
obtém-se
y' = u'v - uv'v^2 = (1-2x)(x^2-3x+2) - (x - x^2)(2x-3)(x^2-3x+2)^2 = 2(x-1)^2(x^2-3x+2)^2

Passo 3

Como (x^2-3x+2)^2>0 em todo o domínio e 2(x-1)^2>=0 com igualdade só em x=1 (fora do domínio), temos
y'(x)>0forall xin(-infty,1),,(1,2),,(2,infty)
Logo, y é crescente em cada um desses três intervalos e não há pontos onde y' mude de sinal. Portanto não existem máximos nem mínimos locais.

Passo 4

Para a concavidade calculamos a derivada segunda. Partindo de
y' = 2,(x-1)^2,(x^2-3x+2)^-2,
obtém-se, após simplificar,
y'' = -4,(x-1)^3(x^2-3x+2)^3
Fatorando (x^2-3x+2)=(x-1)(x-2) e cancelando (x-1)^3 (já que xneq1), vem
y'' = -4(x-2)^3

Passo 5

O sinal de y'' depende apenas de (x-2)^3:
  • Se x>2, então (x-2)^3>0 e y''<0: função côncava para baixo em (2,infty).
  • Se x<2, então (x-2)^3<0 e y''>0: função côncava para cima em (-infty,1) e em (1,2).

Passo 6

Ponto de inflexão ocorre onde y''=0 ou muda de sinal. Aqui y'' nunca se anula e a mudança de concavidade ocorre apenas em x=2, ponto onde a função não está definida. Portanto não há pontos de inflexão no domínio.

Resposta

Intervalos de crescimento: (- infty,1), (1,2) e (2,infty).
Não há intervalos de decrescimento.
Não existem máximos nem mínimos locais.
Concavidade para cima: (- infty,1) e (1,2).
Concavidade para baixo: (2,infty).
Não há pontos de inflexão.

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