Questão 5. Mostre que se Y1(t) é solução de
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=g1(t)
e Y2(t) é solução de
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=g2(t)
então Y1(t)+Y2(t) é solução de
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=g1(t)+g2(t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o princípio da superposição para a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)
Ou seja, dado o operador linear
L[y]=y''+p(t)y'+q(t)y,
devemos provar que, se L[Y1]=g1(t) e L[Y2]=g2(t), então
L[Y1+Y2]=g1(t)+g2(t)

Passo 2

Como a derivada é linear, para
Y(t)=Y1(t)+Y2(t)
temos
Y'=Y1'+Y2', Y''=Y1''+Y2''

Passo 3

Aplicando L em Y obtemos
L[Y]=Y''+p(t)Y'+q(t)Y =(Y1''+Y2'')+p(t)(Y1'+Y2')+q(t)(Y1+Y2),
que se reorganiza em
L[Y] =l(Y1''+p(t)Y1'+q(t)Y1r) +l(Y2''+p(t)Y2'+q(t)Y2r)

Passo 4

Pelo enunciado,
Y1:;L[Y1]=g1(t), Y2:;L[Y2]=g2(t)
Logo
L[Y] = g1(t)+g2(t),
ou seja, Y1+Y2 satisfaz
y''+p(t)y'+q(t)y=g1(t)+g2(t)

Resposta

Portanto, Y1(t)+Y2(t) é solução de
y''+p(t)y'+q(t)y=g1(t)+g2(t)

Exercícios relacionados