Nos problemas de 1 a 3 , resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto
dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os seis primeiros termos (
até
) da solução geral (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
E a gente precisa resolver essa equação usando uma série de potências ao redor do ponto
. Para isso, vamos precisar entender como expandir
em uma série de potências, calcular suas derivadas, substituir na equação e encontrar uma relação de recorrência que nos ajude a determinar os coeficientes da série. Vamos também encontrar os primeiros seis termos dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui, os
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
:
Essas derivadas serão usadas para substituir na equação diferencial.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo para que todos tenham potências de
.
Passo 5
Primeiro, ajustamos os índices para que todas as somas comecem em
:
Para o termo que envolve
, lembramos que
. Então, distribuímos:
Agora, ajustamos novamente os índices para combinar os termos com
.
Passo 6
Após ajustar os índices, obtemos:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero:
Simplificando:
Passo 7
Essa expressão nos dá a relação de recorrência para os coeficientes:
Com essa relação, podemos calcular os coeficientes
até
, assumindo valores iniciais para
e
.
Passo 8
Vamos calcular os primeiros termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Então, os primeiros seis termos da série são:
Passo 10
Se quisermos generalizar, observamos que a relação de recorrência permite calcular todos os coeficientes a partir de
e
. Portanto, a solução geral em série de potências é dada por:
Resposta
A solução geral em série de potências centrada em
é:
Com a relação de recorrência para os coeficientes sendo:
E os primeiros seis termos são: