Nos problemas de 1 a 3 , resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os seis primeiros termos ( a0 até a5 ) da solução geral (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
y^prime prime-x y^prime-y=0 , x0=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - x y' - y = 0
E a gente precisa resolver essa equação usando uma série de potências ao redor do ponto x0 = 1 . Para isso, vamos precisar entender como expandir y em uma série de potências, calcular suas derivadas, substituir na equação e encontrar uma relação de recorrência que nos ajude a determinar os coeficientes da série. Vamos também encontrar os primeiros seis termos dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências centrada em x0 = 1 :
y(x) = sumn=0^infty an (x - 1)^n
Aqui, os an são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de y(x) :
y'(x) = sumn=1^infty an n (x - 1)^n-1
y''(x) = sumn=2^infty an n (n-1) (x - 1)^n-2
Essas derivadas serão usadas para substituir na equação diferencial.

Passo 4

Substituímos y(x) , y'(x) e y''(x) na equação original:
sumn=2^infty an n (n-1) (x - 1)^n-2 - x sumn=1^infty an n (x - 1)^n-1 - sumn=0^infty an (x - 1)^n = 0
Vamos simplificar cada termo para que todos tenham potências de (x - 1)^n .

Passo 5

Primeiro, ajustamos os índices para que todas as somas comecem em n=0 :
sumn=0^infty an+2 (n+2)(n+1) (x - 1)^n - sumn=0^infty an+1 (n+1) (x - 1)^n (x) - sumn=0^infty an (x - 1)^n = 0
Para o termo que envolve x , lembramos que x = (x - 1) + 1 . Então, distribuímos:
sumn=0^infty an+2 (n+2)(n+1) (x - 1)^n - sumn=0^infty an+1 (n+1) (x - 1)^n+1 - sumn=0^infty an+1 (n+1) (x - 1)^n - sumn=0^infty an (x - 1)^n = 0
Agora, ajustamos novamente os índices para combinar os termos com (x - 1)^n .

Passo 6

Após ajustar os índices, obtemos:
sumn=0^infty [an+2 (n+2)(n+1) - an (n) - an+1 (n+1) - an] (x - 1)^n = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo x , cada coeficiente de (x - 1)^n deve ser igual a zero:
an+2 (n+2)(n+1) - an n - an+1 (n+1) - an = 0
Simplificando:
an+2 = (n + 1 + n)(n + 2)(n +1) an

Passo 7

Essa expressão nos dá a relação de recorrência para os coeficientes:
an+2 = 2n +1(n +2)(n +1) an
Com essa relação, podemos calcular os coeficientes a0 até a5 , assumindo valores iniciais para a0 e a1 .

Passo 8

Vamos calcular os primeiros termos:
  • Para n = 0 :
a2 = 2(0) +12 cdot 1 a0 = 12 a0
  • Para n = 1 :
a3 = 2(1) +13 cdot 2 a1 = 36 a1 = 12 a1
  • Para n = 2 :
a4 = 2(2) +14 cdot 3 a2 = 512 ( 12 a0 ) = 524 a0
  • Para n = 3 :
a5 = 2(3) +15 cdot 4 a3 = 720 ( 12 a1 ) = 740 a1

Passo 9

Então, os primeiros seis termos da série são:
y(x) = &, a0 + a1 (x -1) + 12 a0 (x -1)^2 &+ 12 a1 (x -1)^3 + 524 a0 (x -1)^4 + 740 a1 (x -1)^5 + dots

Passo 10

Se quisermos generalizar, observamos que a relação de recorrência permite calcular todos os coeficientes a partir de a0 e a1 . Portanto, a solução geral em série de potências é dada por:
y(x) = a0 (1 + 12(x -1)^2 + 524(x -1)^4 + dots ) + a1 ( (x -1) + 12(x -1)^3 + 740(x -1)^5 + dots )

Resposta

A solução geral em série de potências centrada em x0 =1 é:
y(x) = a0 (1 + 12(x -1)^2 + 524(x -1)^4 ) + a1 ( (x -1) + 12(x -1)^3 + 740(x -1)^5 ) + dots
Com a relação de recorrência para os coeficientes sendo:
an+2 = 2n +1(n +2)(n +1) an
E os primeiros seis termos são:
a0, ; a1, ; 12 a0, ; 12 a1, ; 524 a0, ; 740 a1

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