Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
f^prime(0)=f^prime(2)=f^prime(4)=0
f^prime(x)>0 se x<0 ou 2<x<4, f^prime(x)<0 se 0<x<2 ou x>4
f^prime prime(x)>0 se 1<x<3, f^prime prime(x)<0 se x<1 ou x>3.

Passo 1

O enunciado pede o esboço de uma função f tal que seus pontos críticos e concavidades sejam dados pelas derivadas:
  • f'(0)=f'(2)=f'(4)=0,
  • f'(x)>0 em x<0 e em 2<x<4; f'(x)<0 em 0<x<2 e em x>4,
  • f''(x)>0 em 1<x<3; f''(x)<0 em x<1 e x>3.
    Para esboçar o gráfico basta determinar onde f cresce/decresce e onde é côncava para cima/baixo.

Passo 2

Análise de monotonicidade via f':
  • Zeros de f' em x=0,2,4.
  • Para x<0, f'(x)>0 Rightarrow f cresce até x=0.
  • Em 0<x<2, f'(x)<0 Rightarrow f decresce até x=2.
  • Em 2<x<4, f'(x)>0 Rightarrow f cresce até x=4.
  • Para x>4, f'(x)<0 Rightarrow f decresce para a direita.
    Logo, em x=0 e x=4 temos máximos locais, e em x=2 um mínimo local.

Passo 3

Análise de concavidade via f'':
  • Para x<1, f''(x)<0 Rightarrow f é côncava para baixo até a inflexão em x=1.
  • Para 1<x<3, f''(x)>0 Rightarrow f é côncava para cima entre as inflexões em x=1 e x=3.
  • Para x>3, f''(x)<0 Rightarrow f é côncava para baixo a partir de x=3.

Passo 4

Combinação de monotonicidade e concavidade em cada intervalo relevante:
  • x<0: crescente e côncava para baixo.
  • 0<x<1: decrescente e côncava para baixo.
  • 1<x<2: decrescente e côncava para cima (inflexão em x=1).
  • 2<x<3: crescente e côncava para cima.
  • 3<x<4: crescente e côncava para baixo (inflexão em x=3).
  • x>4: decrescente e côncava para baixo.

Passo 5

Descrição do esboço:
  • A curva vem de baixo à esquerda, sobe (côncava para baixo) até um máximo em x=0.
  • Desce (ainda côncava para baixo) até x=1, muda para côncava para cima, e continua a descer até o mínimo em x=2.
  • Depois sobe (côncava para cima) até x=3, inflete para côncava para baixo e continua a crescer até o máximo em x=4.
  • Finalmente, a curva desce (côncava para baixo) para a direita.

Resposta

Um esboço qualitativo de y=f(x) obedece à sequência de trechos abaixo:
  • Para x<0: crescente, côncava para baixo, chegando a um máximo em x=0.
  • De 0 a 1: decrescente, côncava para baixo.
  • De 1 a 2: decrescente, côncava para cima, atingindo mínimo em x=2.
  • De 2 a 3: crescente, côncava para cima.
  • De 3 a 4: crescente, côncava para baixo, chegando a máximo em x=4.
  • Para x>4: decrescente, côncava para baixo.
Esse perfil cumpre todas as condições dadas para f' e f''.

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