Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
se
ou
se
ou
se
se
ou
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço de uma função
tal que seus pontos críticos e concavidades sejam dados pelas derivadas:
-
, -
em e em ; em e em , -
em ; em e .
Para esboçar o gráfico basta determinar ondecresce/decresce e onde é côncava para cima/baixo.
Passo 2
Análise de monotonicidade via
:
- Zeros de
em . - Para
, cresce até . - Em
, decresce até . - Em
, cresce até . - Para
, decresce para a direita.
Logo, eme temos máximos locais, e em um mínimo local.
Passo 3
Análise de concavidade via
:
- Para
, é côncava para baixo até a inflexão em . - Para
, é côncava para cima entre as inflexões em e . - Para
, é côncava para baixo a partir de .
Passo 4
Combinação de monotonicidade e concavidade em cada intervalo relevante:
-
: crescente e côncava para baixo. -
: decrescente e côncava para baixo. -
: decrescente e côncava para cima (inflexão em ). -
: crescente e côncava para cima. -
: crescente e côncava para baixo (inflexão em ). -
: decrescente e côncava para baixo.
Passo 5
Descrição do esboço:
- A curva vem de baixo à esquerda, sobe (côncava para baixo) até um máximo em
. - Desce (ainda côncava para baixo) até
, muda para côncava para cima, e continua a descer até o mínimo em . - Depois sobe (côncava para cima) até
, inflete para côncava para baixo e continua a crescer até o máximo em . - Finalmente, a curva desce (côncava para baixo) para a direita.
Resposta
Um esboço qualitativo de
obedece à sequência de trechos abaixo:
- Para
: crescente, côncava para baixo, chegando a um máximo em . - De
a : decrescente, côncava para baixo. - De
a : decrescente, côncava para cima, atingindo mínimo em . - De
a : crescente, côncava para cima. - De
a : crescente, côncava para baixo, chegando a máximo em . - Para
: decrescente, côncava para baixo.
Esse perfil cumpre todas as condições dadas para
e
.