Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
y=(1+e^x)^-2

Passo 1

O enunciado dá a função
y = l(1+e^xr)^-2
e pede:
– intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
– intervalos de concavidade (côncava para cima/para baixo) e pontos de inflexão.
Para isso, vamos calcular a primeira derivada y' (monotonicidade e extremos) e a segunda derivada y'' (concavidade e inflexão).

Passo 2

Derivando
y = u^-2, u = 1+e^xRightarrow y' = -2,u^-3,u' = -2,(1+e^x)^-3,e^x
Logo
y' = -2,e^x(1+e^x)^3
Como e^x>0 e (1+e^x)^3>0 para todo x, temos y'<0 em (-infty,infty).
Isto significa que a função é estritamente decrescente em todo R. Não há troca de sinal de y', portanto não existem máximos nem mínimos locais.

Passo 3

Derivando novamente
y' = -2,e^x(1+e^x)^-3,
y'' = -2l[e^x(1+e^x)^-3r]' = -2l(e^x(1+e^x)^-3 + e^xcdot(-3)(1+e^x)^-4e^xr)
y'' = -2,e^x(1+e^x)^4l[(1+e^x) - 3e^xr] = -2,e^x(1+e^x)^4,(1 - 2e^x)
O denominador é sempre positivo e -2e^x<0. Assim o sinal de y'' depende de (1-2e^x):
  • Se 1-2e^x>0iff e^x<tfrac12iff x<-ln 2, então y''<0 Rightarrow côncava para baixo.
  • Se 1-2e^x<0iff e^x>tfrac12iff x>-ln 2, então y''>0 Rightarrow côncava para cima.
Em x=-ln 2 ocorre mudança de concavidade, logo é ponto de inflexão.
O valor da função nesse ponto é
y(-ln 2)=l(1+e^-ln 2r)^-2 =l(1+tfrac12r)^-2 =l(tfrac32r)^-2 =tfrac49

Resposta

Intervalo de crescimento: nenhum (função decrescente em todo R).
Intervalo de decrescimento: (-infty,infty).
Extremos locais: não há máximos nem mínimos.
Côncava para baixo: x<-ln 2.
Côncava para cima: x>-ln 2.
Ponto de inflexão: l(-ln 2,tfrac49r).

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