Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
– intervalos de concavidade (côncava para cima/para baixo) e pontos de inflexão.
Para isso, vamos calcular a primeira derivada (monotonicidade e extremos) e a segunda derivada
(concavidade e inflexão).
– intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais;
– intervalos de concavidade (côncava para cima/para baixo) e pontos de inflexão.
Para isso, vamos calcular a primeira derivada
Passo 2
Derivando
Logo
Como
e
para todo
, temos
em
.
Isto significa que a função é estritamente decrescente em todo . Não há troca de sinal de
, portanto não existem máximos nem mínimos locais.
Isto significa que a função é estritamente decrescente em todo
Passo 3
Derivando novamente
O denominador é sempre positivo e
. Assim o sinal de
depende de
:
- Se
, então côncava para baixo. - Se
, então côncava para cima.
Em
ocorre mudança de concavidade, logo é ponto de inflexão.
O valor da função nesse ponto é
O valor da função nesse ponto é
Resposta
Intervalo de crescimento: nenhum (função decrescente em todo
).
Intervalo de decrescimento: .
Extremos locais: não há máximos nem mínimos.
Côncava para baixo: .
Côncava para cima: .
Ponto de inflexão: .
Intervalo de decrescimento:
Extremos locais: não há máximos nem mínimos.
Côncava para baixo:
Côncava para cima:
Ponto de inflexão: