Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais, os trechos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso vamos usar a primeira derivada
para estudar crescimento/decrescimento e a segunda derivada
para estudar concavidade.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e identificamos seus pontos críticos.
Logo, os pontos onde
são
e
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
:
- Se
, então e , o produto é positivo, logo cresce em . - Se
, temos um fator positivo e outro negativo, produto negativo, logo decresce em . - Se
, ambos fatores são positivos, produto positivo, logo cresce em .
Passo 4
Classificamos os extremos pelos sinais de
:
- Em
a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local em com valor . - Em
a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em com valor .
Passo 5
Agora a segunda derivada para concavidade:
Se
, então
e a curva é côncava para baixo em
.
Se , então
e a curva é côncava para cima em
.
Se
Passo 6
O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda de sinal, isto é, em
. O valor da função nesse ponto é
logo o ponto de inflexão é
.
Resposta
Intervalos de crescimento:
\n
Intervalo de decrescimento: \n
M ximo local em
com valor
\n
M nimo local em
com valor
\n
C ncava para baixo em
\n
C ncava para cima em
\n
Ponto de inflex o em
Intervalo de decrescimento:
M
M
C
C
Ponto de inflex