Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
f(x)=x^3-3 x^2+3

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=x^3-3x^2+3, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais, os trechos de concavidade e os pontos de inflexão. Para isso vamos usar a primeira derivada f'(x) para estudar crescimento/decrescimento e a segunda derivada f''(x) para estudar concavidade.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e identificamos seus pontos críticos.
f'(x)=ddxl(x^3-3x^2+3r)=3x^2-6x=3x(x-2)
Logo, os pontos onde f'(x)=0 são x=0 e x=2.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x)=3x(x-2):
  • Se x<0, então x<0 e x-2<0, o produto é positivo, logo f cresce em (-infty,0).
  • Se 0<x<2, temos um fator positivo e outro negativo, produto negativo, logo f decresce em (0,2).
  • Se x>2, ambos fatores são positivos, produto positivo, logo f cresce em (2,infty).

Passo 4

Classificamos os extremos pelos sinais de f':
  • Em x=0 a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local em x=0 com valor f(0)=3.
  • Em x=2 a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em x=2 com valor f(2)=2^3-3cdot2^2+3=-1.

Passo 5

Agora a segunda derivada para concavidade:
f''(x)=ddxl(3x^2-6xr)=6x-6=6(x-1)
Se x<1, então f''(x)<0 e a curva é côncava para baixo em (-infty,1).
Se x>1, então f''(x)>0 e a curva é côncava para cima em (1,infty).

Passo 6

O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda de sinal, isto é, em x=1. O valor da função nesse ponto é
f(1)=1^3-3cdot1^2+3=1,
logo o ponto de inflexão é (1,1).

Resposta

Intervalos de crescimento: (-infty,0)cup(2,infty)\n
Intervalo de decrescimento: (0,2)\n
M acuteaximo local em x=0 com valor f(0)=3\n
M acuteinimo local em x=2 com valor f(2)=-1\n
C oncava para baixo em (-infty,1)\n
C oncava para cima em (1,infty)\n
Ponto de inflex tildeao em (1,1)

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