Nos exercícios de 4 a 6 , resolva o problema de valor inicial dado, válido em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular.
x^2 y^prime prime+4 x y^prime+2 y=0 , y(1)=1 , y^prime(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
x^2y''+4x,y'+2y=0
com as condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=2. Vamos usar a técnica de tentar uma solução do tipo y=x^r.

Passo 2

Supondo y=x^r temos
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2
Substituindo na equação, dividindo tudo por x^rneq0, vem
r(r-1)+4r+2=0

Passo 3

O polinômio característico é
r^2-r+4r+2=r^2+3r+2=0,
cuja fatoração (r+1)(r+2)=0 dá as raízes
r1=-1, r2=-2
Logo a solução geral é
y(x)=C1x^-1+C2x^-2

Passo 4

Derivando essa solução,
y'(x)=-C1x^-2-2C2x^-3
Impondo y(1)=1 e y'(1)=2 obtemos o sistema
C1+C2=1, -,C1-2C2=2

Passo 5

Resolvendo
da primeira equação C1=1-C2. Substituindo na segunda,
-,(1-C2)-2C2=2;Longrightarrow;-1-C2=2;Longrightarrow;C2=-3,
logo C1=1-(-3)=4.

Resposta

boxedy(x)=4x-3x^2

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