Use o método de substituição para obter a solução geral da equação dada, para x>0 :
x^2 y^prime prime+x y^prime+4 y=sin (ln x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x^2y''+x,y'+4y=sin(ln x),
para x>0, usando o método de substituição. Trata-se de uma equação de Euler-Cauchy, então vamos usar a mudança de variável
t = ln x,
e definir
u(t) = yl(x(t)r)

Passo 2

Calculamos as derivadas de y em função de u. Como t=ln x, temos dfracdtdx=1/x. Logo:
y' = dudx = dudt,dtdx = 1x,u'(t),
y'' = ddxgl(1xu'gr) = -1x^2,u' + 1x,d u'dx = -1x^2u' + 1xcdot1xu'' = 1x^2l(u''-u'r)

Passo 3

Substituindo y' e y'' na equação original:
x^2cdot1x^2(u''-u') + xcdot1xu' + 4u = (u''-u') + u' + 4u = u'' + 4u
O lado direito vira sin(t). Assim obtemos a equação de coeficientes constantes
u''(t) + 4,u(t) = sin t

Passo 4

Resolvendo a homogênea
u'' + 4u = 0
o polinômio característico é r^2+4=0, com raízes r=pm2i. Logo
uh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 5

Buscamos uma particular da forma
up(t) = Asin t + Bcos t
Calculando
up'' + 4up = (-Asin t - Bcos t) + 4(Asin t + Bcos t) = 3Asin t + 3Bcos t
e igualando a sin t, obtemos 3A=1, 3B=0. Assim
A=tfrac13, B=0,
up(t)=13sin t

Passo 6

A solução geral em t é
u(t) = uh(t) + up(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + 13sin t

Passo 7

Voltando à variável x, lembrando que t=ln x e u(t)=y(x), ficamos com
y(x) = C1cosl(2ln xr) + C2sinl(2ln xr) + 13sinl(ln xr)

Resposta

y(x) = C1cosl(2ln xr) + C2sinl(2ln xr) + 13sinl(ln xr)

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