Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x0=0 e determine duas soluções linearmente independentes para x>0.
x^2 y^prime prime+32 x y^prime+x y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2y''+tfrac32,x,y'+x,y=0
e pede para mostrar que x0=0 é um ponto singular regular e obter duas soluções linearmente independentes em x>0.
Conteúdo: teoria de pontos singulares regulares e método de Frobenius. Vamos precisar escrever a equação na forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y=0
e checar a regularidade em x=0, depois usar a expansão de Frobenius y=sumn=0^infty an,x^n+r.

Passo 2

Dividindo por x^2 (válido para xneq0) obtemos
y''+tfrac32,xx^2y'+xx^2y=0 Longrightarrow y''+32xy'+1xy=0
Aqui
p(x)=32x, q(x)=1x
Para verificar se x=0 é singular regular, vemos que
;x,p(x)=tfrac32 e ;x^2,q(x)=x
são funções analíticas em x=0. Logo, x=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Na forma de Frobenius propomos
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0
Derivando e substituindo na equação padrão gera o polinômio indicial
r(r-1)+32,r+0=0 Longrightarrow rl(r+tfrac12r)=0,
cujas raízes são
r1=0, r2=-tfrac12

Passo 4

O coeficiente geral satisfaz, para n>=1, a relação de recorrência
(n+r)(n+r-1)an+tfrac32,(n+r)an+an-1=0 ;Longrightarrow; an=-an-1(n+r)(n+r+tfrac12)
Para r=r1=0 temos
an=-an-1n(n+tfrac12),
de onde, escolhendo a0=1,
a1=-11cdot32=-tfrac23, a2=-a12cdot52=tfrac415, ;dots
Formando a série, obtemos a primeira solução em série de potências:
boxedy1(x)=1-tfrac23,x+tfrac415,x^2-cdots

Passo 5

Para r=r2=-tfrac12 a recorrência fica
an=-an-1(n-tfrac12)(n+0),
e, tomando novamente a0=1, achamos
;a1=-1/( tfrac12cdot1)=-2,;a2= -a1/( tfrac32cdot2)=tfrac23,dots
O fator x^-1/2 sai do r2. Assim a segunda solução é
boxedy2(x)=x^-tfrac12l(1-2,x+tfrac23,x^2-cdotsr)
Essas duas séries convergem para x>0 e são linearmente independentes (pois r1-r2=tfrac12notinZ).

Resposta

O ponto x0=0 é singular regular. Duas soluções linearmente independentes em x>0 são
y1(x)=1-tfrac23,x+tfrac415,x^2-cdots, y2(x)=x^-tfrac12l(1-2,x+tfrac23,x^2-cdotsr)

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