Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em
e determine duas soluções linearmente independentes para
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para mostrar que
é um ponto singular regular e obter duas soluções linearmente independentes em
.
Conteúdo: teoria de pontos singulares regulares e método de Frobenius. Vamos precisar escrever a equação na forma padrão
Conteúdo: teoria de pontos singulares regulares e método de Frobenius. Vamos precisar escrever a equação na forma padrão
e checar a regularidade em
, depois usar a expansão de Frobenius
.
Passo 2
Dividindo por
(válido para
) obtemos
Aqui
Para verificar se
é singular regular, vemos que
e
são funções analíticas em . Logo,
é ponto singular regular.
são funções analíticas em
Passo 3
Na forma de Frobenius propomos
Derivando e substituindo na equação padrão gera o polinômio indicial
cujas raízes são
Passo 4
O coeficiente geral satisfaz, para
, a relação de recorrência
Para
temos
de onde, escolhendo
,
Formando a série, obtemos a primeira solução em série de potências:
Passo 5
Para
a recorrência fica
e, tomando novamente
, achamos
O fator sai do
. Assim a segunda solução é
O fator
Essas duas séries convergem para
e são linearmente independentes (pois
).
Resposta
O ponto
é singular regular. Duas soluções linearmente independentes em
são