Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
y=xx^2+9;

Passo 1

O enunciado pede para a função
y = xx^2+9
determinar
1. intervalos de crescimento e decrescimento,
2. máximos e mínimos locais,
3. concavidade (para cima e para baixo) e
4. pontos de inflexão.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira por quociente: se y=uv com u=x e v=x^2+9, então
y' = u'v - uv'v^2 = 1cdot(x^2+9) - xcdot 2x(x^2+9)^2 = x^2+9 - 2x^2(x^2+9)^2 = 9 - x^2(x^2+9)^2
Os zeros de y' vêm de 9 - x^2=0, ou seja x=pm 3.
Para x^2<9 (i.e.\ -3<x<3) temos 9-x^2>0 e o denominador sempre positivo, logo y'>0: a função cresce em (-3,3).
Para |x|>3 temos 9-x^2<0, logo y'<0: decresce em (- infty,-3) e em (3,infty).
Analisando o sinal de y' atravessando x=-3 (de -, para +) temos mínimo local em x=-3; em x=3 (de + para -) temos máximo local em x=3.
Os valores são
y(-3) = -39+9 = -16, y(3) = 39+9 = 16

Passo 3

Agora a derivada segunda. Partindo de
y' = 9 - x^2(x^2+9)^2,
use quociente novamente ou simplifique por fatoração. O resultado é
y'' = -2x ,27 - x^2(x^2+9)^3
Os potenciais pontos de inflexão surgem onde y''=0, ou seja x=0 ou 27 - x^2=0Rightarrow x=pm 3raiz3

Passo 4

O sinal de y'' define concavidade:
  • Para x< -3raiz3: x<0 e 27-x^2<0 dão y''<0 to côncava para baixo.
  • Para -3raiz3<x<0: x<0 e 27-x^2>0 dão y''>0 to côncava para cima.
  • Para 0<x<3raiz3: x>0 e 27-x^2>0 dão y''<0 to côncava para baixo.
  • Para x>3raiz3: x>0 e 27-x^2<0 dão y''>0 to côncava para cima.
    Os pontos de inflexão são portanto
x = -3raiz3,;0,;3raiz3
com
y(-3raiz3) = -raiz312, y(0)=0, y(3raiz3)=raiz312

Resposta

Cresce em (-3,3).
Decresce em (-infty,-3) e (3,infty).
Mínimo local em l(-3,-tfrac16r).
Máximo local em l(3,tfrac16r).
Concava para baixo em l(-infty,-3raiz3r)cupl(0,3raiz3r).
Concava para cima em l(-3raiz3,0r)cupl(3raiz3,inftyr).
Pontos de inflexão em l(-3raiz3,-tfracraiz312r), (0,0) e l(3raiz3,tfracraiz312r).

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