Para cada função dada encontre: seus intervalos de crescimento e decrescimento, seus valores máximos e mínimos locais, onde ela é côncava para cima e côncava para baixo e seus pontos de inflexão.
;
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar
. intervalos de crescimento e decrescimento,
. máximos e mínimos locais,
. concavidade (para cima e para baixo) e
. pontos de inflexão.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira por quociente: se
com
e
, então
Os zeros de
vêm de
, ou seja
.
Para (i.e.\
) temos
e o denominador sempre positivo, logo
: a função cresce em
.
Para temos
, logo
: decresce em
e em
.
Analisando o sinal de atravessando
(de -, para
) temos mínimo local em
; em
(de
para -) temos máximo local em
.
Os valores são
Para
Para
Analisando o sinal de
Os valores são
Passo 3
Agora a derivada segunda. Partindo de
use quociente novamente ou simplifique por fatoração. O resultado é
Os potenciais pontos de inflexão surgem onde
, ou seja
ou
Passo 4
O sinal de
define concavidade:
- Para
: e dão côncava para baixo. - Para
: e dão côncava para cima. - Para
: e dão côncava para baixo. - Para
: e dão côncava para cima.
Os pontos de inflexão são portanto
com
Resposta
Cresce em
.
Decresce em e
.
Mínimo local em .
Máximo local em .
Concava para baixo em .
Concava para cima em .
Pontos de inflexão em ,
e
.
Decresce em
Mínimo local em
Máximo local em
Concava para baixo em
Concava para cima em
Pontos de inflexão em