Uma função f definida em R é dita uma função densidade de probabilidade se f(x) >= 0, forall x in R e integral-infty^+infty f(x) d x=1.
Mostre que f(x)=lll15, & se -3<x <= 2 0, & se x <=-3 ou x>2 é uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)= dfrac15,&se -3<x<=2, 0,&caso contrário á
é densidade de probabilidade. Para isso precisamos verificar duas coisas:
  1. f(x)>=0 para todo xinR.
  2. integral-infty^+inftyf(x),dx=1.

Passo 2

Verificando a não-negatividade:
  • Se -3<x<=2 então f(x)=tfrac15>0.
  • Se x<=-3 ou x>2 então f(x)=0.
    Logo de fato f(x)>=0 em todos os casos.

Passo 3

Agora calculamos a integral total. Como fora do intervalo [-3,2] a função é zero, basta integrar em [-3,2]:
integral-infty^+inftyf(x),dx =integral-3^215,dx =15,(2-(-3)) =15cdot5 =1

Resposta

A função f satisfaz f(x)>=0 e integral-infty^+inftyf(x),dx=1, logo é uma função densidade de probabilidade.

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