Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
integral0^4 d yraiz[3]2 y-8

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
integral0^4dyraiz[3]2y-8
é convergente ou divergente. Note que o denominador se anula em y=4, gerando uma singularidade aí. Vamos, portanto, tratar como integral imprópria usando um limite para bto4^-.

Passo 2

Identificamos que a única descontinuidade do integrando
1raiz[3]2y-8=(2y-8)^-1/3
ocorre em y=4 (pois 2cdot4-8=0). Então escrevemos
integral0^4!(2y-8)^-1/3dy=limbto4^-integral0^b(2y-8)^-1/3dy

Passo 3

Para calcular integral(2y-8)^-1/3dy, fazemos a substituição
u = 2y-8, du = 2,dy, dy=tfracdu2
Então
integral(2y-8)^-1/3dy =tfrac12integral u^-1/3du =tfrac12cdotu^2/32/3 =34,u^2/3
Voltando a y, a primitiva é
F(y)=34,(2y-8)^2/3

Passo 4

Avaliamo-la de 0 a b<4:
integral0^b(2y-8)^-1/3dy =F(b)-F(0) =34(2b-8)^2/3 -34(2cdot0-8)^2/3
Como (-8)^2/3=((-8)^1/3)^2 =(-2)^2=4, temos
F(0)=34cdot4=3,
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integral0^b(2y-8)^-1/3dy =34(2b-8)^2/3-3

Passo 5

Agora tomamos o limite bto4^-:
2b-8;xrightarrow[bto4^-];0^- Longrightarrow (2b-8)^2/3to0,
então
limbto4^-l[tfrac34(2b-8)^2/3-3r] =0-3=-3
Como o limite existe finito, a integral converge e vale -3.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é -3.

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