Circuitos Elétricos. Os Problemas 32 e 33 tratam do circuito elétrico descrito pelo sistema de equações diferenciais dado no Problema 20 da Seção 7.1:
(b) Mostre que quando , independente dos valores iniciais e .
Passo 1
A questão dá um sistema linear homogêneo de primeira ordem que descreve um circuito elétrico, com variáveis de estado corrente e tensão . O objetivo é mostrar que ambas tendem a zero quando , usando teoria de sistemas lineares e propriedades dos parâmetros do circuito.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma vetorial , onde e
Passo 3
sabendo que R1,R2,L,C>0. Agora vamos checar dois invariantes de A: o traço e o determinante.
Passo 4
Calculamos o traço:
tr(A)=-R1L-1C,R2,que é estritamente negativo pois soma de termos positivos com sinal “−”.
Passo 5
Calculamos o determinante:
det(A)=l(-R1Lr)l(-1C,R2r)-l(-1Lr)l(1Cr)=R1L,C,R2+1L,C,que é estritamente positivo.
Passo 6
Para sistemas lineares dfracdXdt=A,X, terem parte real de todos os autovalores negativa (isto é, traço negativo e determinante positiva em 2×2) implica que X(t)to0 quando ttoinfty, qualquer que sejam as condições iniciais.
Resposta
Como os autovalores da matriz têm parte real negativa, segue que I(t)to0 e V(t)to0 quando ttoinfty, independentemente de I(0) e V(0).