Circuitos Elétricos. Os Problemas 32 e 33 tratam do circuito elétrico descrito pelo sistema de equações diferenciais dado no Problema 20 da Seção 7.1:
dd tbinomIV=(cc -R1L & -1L 1C & -1C R2 )binomIV
(b) Mostre que I(t) 0 e V(t) 0 quando t infty, independente dos valores iniciais I(0) e V(0).

Passo 1

A questão dá um sistema linear homogêneo de primeira ordem que descreve um circuito elétrico, com variáveis de estado corrente I(t) e tensão V(t). O objetivo é mostrar que ambas tendem a zero quando ttoinfty, usando teoria de sistemas lineares e propriedades dos parâmetros do circuito.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma vetorial dfracddtX=A,X, onde X=binomIV e
A=-R1L&-1L[6pt]1C&-1C,R2,

Passo 3

sabendo que R1,R2,L,C>0. Agora vamos checar dois invariantes de A: o traço e o determinante.

Passo 4

Calculamos o traço:
tr(A)=-R1L-1C,R2,que é estritamente negativo pois soma de termos positivos com sinal “−”.

Passo 5

Calculamos o determinante:
det(A)=l(-R1Lr)l(-1C,R2r)-l(-1Lr)l(1Cr)=R1L,C,R2+1L,C,que é estritamente positivo.

Passo 6

Para sistemas lineares dfracdXdt=A,X, terem parte real de todos os autovalores negativa (isto é, traço negativo e determinante positiva em 2×2) implica que X(t)to0 quando ttoinfty, qualquer que sejam as condições iniciais.

Resposta

Como os autovalores da matriz têm parte real negativa, segue que I(t)to0 e V(t)to0 quando ttoinfty, independentemente de I(0) e V(0).

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