Para cada função dada a seguir, determine: O domínio; A imagem; As curvas de nível;As intersecções de f com os planos y z e z x. Esboce o gráfico de f.
f(x, y)=\ln (2 x-3 y+1)

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x,y)=\ln\bigl(2x-3y+1\bigr),
que a gente determine:
• o domínio;
• a imagem;
• as curvas de nível;
• as intersecções de f com os planos yz e zx;
• e faça um esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de função de duas variáveis envolvendo logaritmo, então vamos usar a condição de existência do logaritmo, suas propriedades de imagem e a geometria de curvas de nível e interseções com planos coordenados.

Passo 2

Para existir \ln(2x-3y+1) precisamos do argumento positivo, isto é
2x-3y+1>0.
Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 2x-3y+1>0\}.
Como o logaritmo natural mapeia (0,\infty) sobre todo \mathbb{R}, a imagem de f é
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,\infty).

Passo 3

As curvas de nível de ordem c\in\mathbb{R} satisfazem
\ln\bigl(2x-3y+1\bigr)=c \quad\Longleftrightarrow\quad 2x-3y+1=e^c.
Cada curva de nível é, portanto, a reta
2x-3y=e^c-1,
que muda de posição conforme e^c, mas todas têm o mesmo coeficiente angular 2/3.

Passo 4

Para achar a intersecção com o plano yz (onde x=0) basta pôr x=0 em f:
f(0,y)=\ln(1-3y),
com 1-3y>0, ou seja y<\tfrac13. Assim no plano yz a curva é (0,y,\ln(1-3y)), y<\tfrac13.
Para o plano zx y=0 temos
f(x,0)=\ln(2x+1),
com 2x+1>0, isto é x>-\tfrac12. No plano zx a curva é (x,0,\ln(2x+1)), x>-\tfrac12.

Passo 5

Esboçando o gráfico de z=f(x,y)=\ln(2x-3y+1):
– o domínio é a meia‐plano aberto \{2x-3y+1>0\} projetado no plano xy;
– ao longo da reta limite 2x-3y+1=0 temos z\to-\infty (assíntota);
– à medida que 2x-3y+1\to+\infty, z\to+\infty;
– as curvas de nível são retas paralelas desenhadas no domínio, e o valor de z cresce lentamente (logaritmicamente) conforme vamos paralelo à normal do conjunto 2x-3y+1= const.
O esboço é uma “casca” que desce até -\infty na borda do domínio e sobe indefinidamente para valores grandes de 2x-3y.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\mid 2x-3y+1>0\}.
Imagem: (-\infty,\infty).
Curvas de nível: retas 2x-3y=e^c-1 para cada c\in\mathbb{R}.
Interseção com yz: (0,y,\ln(1-3y)), y<\tfrac13.
Interseção com zx: (x,0,\ln(2x+1)), x>-\tfrac12.
Gráfico: superfície logarítmica sobre meia‐plano, com assíntota ao longo de 2x-3y+1=0 e elevação infinita para grandes valores de 2x-3y.

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