Para cada função dada a seguir, determine: O domínio; A imagem; As curvas de nível;As intersecções de
com os planos
e
. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine:
• o domínio;
• a imagem;
• as curvas de nível;
• as intersecções de com os planos
e
;
• e faça um esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de função de duas variáveis envolvendo logaritmo, então vamos usar a condição de existência do logaritmo, suas propriedades de imagem e a geometria de curvas de nível e interseções com planos coordenados.
• o domínio;
• a imagem;
• as curvas de nível;
• as intersecções de
• e faça um esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de função de duas variáveis envolvendo logaritmo, então vamos usar a condição de existência do logaritmo, suas propriedades de imagem e a geometria de curvas de nível e interseções com planos coordenados.
Passo 2
Para existir
precisamos do argumento positivo, isto é
Logo o domínio é
Como o logaritmo natural mapeia
sobre todo
, a imagem de
é
Passo 3
As curvas de nível de ordem
satisfazem
Cada curva de nível é, portanto, a reta
que muda de posição conforme
, mas todas têm o mesmo coeficiente angular
.
Passo 4
Para achar a intersecção com o plano
(onde
) basta pôr
em
:
com
, ou seja
. Assim no plano
a curva é
,
.
Para o plano temos
Para o plano
com
, isto é
. No plano
a curva é
,
.
Passo 5
Esboçando o gráfico de
:
– o domínio é a meia‐plano aberto projetado no plano
;
– ao longo da reta limite temos
(assíntota);
– à medida que ,
;
– as curvas de nível são retas paralelas desenhadas no domínio, e o valor de cresce lentamente (logaritmicamente) conforme vamos paralelo à normal do conjunto
const.
O esboço é uma “casca” que desce até na borda do domínio e sobe indefinidamente para valores grandes de
.
– o domínio é a meia‐plano aberto
– ao longo da reta limite
– à medida que
– as curvas de nível são retas paralelas desenhadas no domínio, e o valor de
O esboço é uma “casca” que desce até
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: retas para cada
Interseção com :
,
Interseção com :
,
Gráfico: superfície logarítmica sobre meia‐plano, com assíntota ao longo de e elevação infinita para grandes valores de
.
Imagem:
Curvas de nível: retas
Interseção com
Interseção com
Gráfico: superfície logarítmica sobre meia‐plano, com assíntota ao longo de