Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem:
f(x)=(10 x+1) / x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{10x+1}{x}
e pede para determinarmos as derivadas de primeira ordem, isto é, f'(x). Observação importante: a expressão contém divisão por x, logo x\neq 0 (domínio da função).

Passo 2

Vou escolher um método simples e direto: primeiro simplificar a expressão algébrica para escrever f(x) como soma de termos mais fáceis de derivar. Isso evita usar a regra do quociente e costuma ser mais rápido e menos sujeito a erro na prova.

Passo 3

Fazer a divisão termo a termo no numerador por x:
\frac{10x+1}{x}=\frac{10x}{x}+\frac{1}{x}=10+\frac{1}{x}.
Aqui usei a propriedade de que \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}.

Passo 4

Reescrever \dfrac{1}{x} como potência para aplicar a regra de potências:
\frac{1}{x}=x^{-1}.
Portanto
f(x)=10+x^{-1}.

Passo 5

Explicar a regra que vamos usar: a regra de potência diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1}.
Também sabemos que a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2} e \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 6

Aplicando as regras ao nosso f(x)=10+x^{-1}:
  • A derivada de 10 é 0.
  • A derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Assim
f'(x)=0- x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 7

Voltar à notação de fração para ficar mais familiar na prova:
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}},\qquad x\neq 0.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}
Domínio: x\neq 0

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