Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem:
f(x)=2 x^{2}(5 x+4)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de primeira ordem da função dada.
Informação fornecida: a função é f(x)=2 x^{2}(5 x+4).
Pergunta: calcular f'(x), a derivada de primeira ordem de f.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação breve do porquê): aqui temos um polinómio multiplicado por constante; é mais simples primeiro expandir o produto e depois derivar termo a termo. Isso evita usar a regra do produto e torna as contas diretas. Nas provas, quando dá para expandir sem complicação, essa é normalmente a via mais rápida.

Passo 3

Vamos expandir f(x) multiplicando 2 x^{2} por cada termo de (5 x+4). Façamos as multiplicações passo a passo:
2 x^{2}\cdot 5x = 10x^{3}
2 x^{2}\cdot 4 = 8x^{2}
Somando os termos obtidos, temos a forma expandida da função:
f(x)=10x^{3}+8x^{2}

Passo 4

Relembrando a regra que usaremos para derivar: a regra do expoente (power rule). Ela diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}.
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes multiplicativas saem da derivada. Ou seja, se g(x)=a\cdot x^{n} com a constante, então
g'(x)=a\cdot n\,x^{n-1}.
Vou aplicar isso termo a termo em f(x)=10x^{3}+8x^{2}.

Passo 5

Derivando cada termo:
Derivada de 10x^{3}:
\frac{d}{dx}\left(10x^{3}\right)=10\cdot 3x^{2}=30x^{2}.
Derivada de 8x^{2}:
\frac{d}{dx}\left(8x^{2}\right)=8\cdot 2x=16x.
Somando as duas derivadas obtemos
f'(x)=30x^{2}+16x.

Passo 6

Opcional — verificação usando a regra do produto (útil para exercícios similares onde expandir é menos prático). A regra do produto diz que, se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Tomando u(x)=2x^{2} e v(x)=5x+4, temos u'(x)=4x e v'(x)=5. Aplicando:
f'(x)=4x(5x+4)+2x^{2}\cdot 5=20x^{2}+16x+10x^{2}=30x^{2}+16x,
o que confirma o resultado obtido por expansão.

Passo 7

Podemos apresentar a derivada também fatorada para formas de resposta mais compactas. Fator comum em 30x^{2}+16x é 2x:
f'(x)=2x(15x+8).

Resposta

f'(x)=30x^{2}+16x=2x(15x+8)

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