Para cada função
, determine as derivadas de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada de primeira ordem da função dada.
Informação fornecida: a função é .
Pergunta: calcular , a derivada de primeira ordem de
.
Informação fornecida: a função é
Pergunta: calcular
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação breve do porquê): aqui temos um polinómio multiplicado por constante; é mais simples primeiro expandir o produto e depois derivar termo a termo. Isso evita usar a regra do produto e torna as contas diretas. Nas provas, quando dá para expandir sem complicação, essa é normalmente a via mais rápida.
Passo 3
Vamos expandir
multiplicando
por cada termo de
. Façamos as multiplicações passo a passo:
Somando os termos obtidos, temos a forma expandida da função:
Passo 4
Relembrando a regra que usaremos para derivar: a regra do expoente (power rule). Ela diz que, para qualquer número real
,
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes multiplicativas saem da derivada. Ou seja, se
com
constante, então
Vou aplicar isso termo a termo em
.
Passo 5
Derivando cada termo:
Derivada de :
Derivada de
Derivada de
:
Somando as duas derivadas obtemos
Passo 6
Opcional — verificação usando a regra do produto (útil para exercícios similares onde expandir é menos prático). A regra do produto diz que, se
, então
Tomando
e
, temos
e
. Aplicando:
o que confirma o resultado obtido por expansão.
Passo 7
Podemos apresentar a derivada também fatorada para formas de resposta mais compactas. Fator comum em
é
: