Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função racional
determinando interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e de decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso vamos usar análise de domínio, limites (para assíntotas), derivada primeira (para monotonia e extremos) e derivada segunda (para concavidade e inflexão).
Passo 2
Primeiro, o domínio e os interceptos.
O domínio de é
O domínio de
pois em
o denominador se anula.
Para o intercepto em fazemos
:
Para o intercepto em
Não há intercepto em
, pois
implicaria
, o que é impossível.
Passo 3
Agora as assíntotas.
Para temos
Para
logo existe assíntota vertical em
.
Para ,
Para
portanto há assíntota horizontal em
.
Passo 4
Derivada primeira e monotonia.
Como
para todo
, segue
em ambos os intervalos
e
. Logo
é estritamente decrescente em cada ramo. Não ocorrem trocas de sinal de
, portanto não há máximos nem mínimos locais.
Passo 5
Derivada segunda e concavidade.
Em
temos
então
(concavidade para baixo). Em
temos
então
(concavidade para cima). A concavidade muda de sinal ao passar por
, mas esse ponto não pertence ao domínio, logo não há ponto de inflexão.
Passo 6
Esboço do gráfico.
No ramo a curva é decrescente e côncava para baixo, sai de
quando
e vai a
quando
.
No ramo a curva é decrescente e côncava para cima, sai de
quando
e vai a
quando
.
Temos o intercepto , a assíntota vertical
e a horizontal
.
No ramo
No ramo
Temos o intercepto
Resposta
Interceptos:
y-intercepto em ; sem intercepto em
.
Assíntotas:
vertical e horizontal
.
Monotonia:
decrescente em e em
.
Extremos locais:
nenhum.
Concavidade:
côncava para baixo em , côncava para cima em
.
Pontos de inflexão:
nenhum no domínio.
Gráfico: dois ramos hiperbólicos com centro aparente em , seguindo o comportamento descrito no passo 6.
y-intercepto em
Assíntotas:
vertical
Monotonia:
decrescente em
Extremos locais:
nenhum.
Concavidade:
côncava para baixo em
Pontos de inflexão:
nenhum no domínio.
Gráfico: dois ramos hiperbólicos com centro aparente em