Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
g(x)=1x-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função racional
g(x)=1x-1
determinando interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e de decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso vamos usar análise de domínio, limites (para assíntotas), derivada primeira (para monotonia e extremos) e derivada segunda (para concavidade e inflexão).

Passo 2

Primeiro, o domínio e os interceptos.
O domínio de g é
xinRmid xneq1,
pois em x=1 o denominador se anula.
Para o intercepto em y fazemos x=0:
g(0)=10-1=-1
Não há intercepto em x, pois g(x)=0 implicaria 1=0, o que é impossível.

Passo 3

Agora as assíntotas.
Para xto1 temos
limxto1^-g(x)=-infty e limxto1^+g(x)=+infty,
logo existe assíntota vertical em x=1.
Para xtopminfty,
limxtopminfty1x-1=0,
portanto há assíntota horizontal em y=0.

Passo 4

Derivada primeira e monotonia.
g'(x) = ddxl[(x-1)^-1r] = -,(x-1)^-2
Como (x-1)^-2>0 para todo xneq1, segue g'(x)<0 em ambos os intervalos (-infty,1) e (1,infty). Logo g é estritamente decrescente em cada ramo. Não ocorrem trocas de sinal de g', portanto não há máximos nem mínimos locais.

Passo 5

Derivada segunda e concavidade.
g''(x)=ddxl[-(x-1)^-2r]=2,(x-1)^-3
Em (-infty,1) temos (x-1)^3<0 então g''(x)<0 (concavidade para baixo). Em (1,infty) temos (x-1)^3>0 então g''(x)>0 (concavidade para cima). A concavidade muda de sinal ao passar por x=1, mas esse ponto não pertence ao domínio, logo não há ponto de inflexão.

Passo 6

Esboço do gráfico.
No ramo x<1 a curva é decrescente e côncava para baixo, sai de yto0^- quando xto-infty e vai a -infty quando xto1^-.
No ramo x>1 a curva é decrescente e côncava para cima, sai de yto+infty quando xto1^+ e vai a 0^+ quando xto+infty.
Temos o intercepto (0,-1), a assíntota vertical x=1 e a horizontal y=0.

Resposta

Interceptos:
y-intercepto em (0,-1); sem intercepto em x.
Assíntotas:
vertical x=1 e horizontal y=0.
Monotonia:
decrescente em (-infty,1) e em (1,infty).
Extremos locais:
nenhum.
Concavidade:
côncava para baixo em (-infty,1), côncava para cima em (1,infty).
Pontos de inflexão:
nenhum no domínio.
Gráfico: dois ramos hiperbólicos com centro aparente em (1,0), seguindo o comportamento descrito no passo 6.

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