Calcule as derivadas:
h(x)=ln (raizx+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de h(x)=ln(√(x+1)). O conteúdo envolvido é derivada de função composta, regra da cadeia, derivada do logaritmo natural e de potência.

Passo 2

Como ln de uma potência atende à propriedade ln(a^b)=b·ln(a), podemos reescrever h(x) da seguinte forma:
h(x)=lnl((x+1)^1/2r)=tfrac12ln(x+1)

Passo 3

Agora usamos que a derivada de ln(u) é u’/u, aplicando em ln(x+1):
ddxln(x+1)=1x+1
Multiplicando pelo fator 1/2 que ficou fora do ln, temos
h'(x)=tfrac12cdot1x+1

Passo 4

Por fim, simplificando a expressão chegamos a:
h'(x)=12(x+1)

Resposta

h’(x)=\displaystyle\frac{1}{2(x+1)}

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