Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
determinando interceptos com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar o gráfico. Para isso vamos usar derivadas (primeira para monotonia e extremos, segunda para concavidade) e análise de limites (para assíntotas).
Passo 2
Interceptos com os eixos:
– Intercepto em : basta
,
– Intercepto em
logo há intercepto
.
– Intercepto em : resolver
– Intercepto em
Mas para todo
real temos
e
pode ser negativo ou positivo, e testando valores percebe-se que nunca se igualam. Portanto não há interceptos em
.
Passo 3
Assíntotas:
- Para
, e não há assíntota horizontal ou oblíqua para cima. - Para
, e
Como
, a reta
é assíntota oblíqua.
Passo 4
Monotonia e extremos locais:
Calculemos a primeira derivada:
Calculemos a primeira derivada:
Resolver
dá
– Para
,
implica
: a função decresce em
.
– Para ,
implica
: a função cresce em
.
Logo é ponto de mínimo local, com valor
– Para
Logo
Não há máximos locais.
Passo 5
Concavidade e ponto de inflexão:
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Como
para todo
, a função é côncava para cima em toda reta real e não há ponto de inflexão.
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
– Vem de seguindo a assíntota
,
– decresce até o mínimo em ,
– depois cresce exponencialmente para .
– Vem de
– decresce até o mínimo em
– depois cresce exponencialmente para
Resposta
Interceptos:
y-intercepto em , sem interceptos em
.
Assíntota: reta oblíqua para
.
Crescimento/decrescimento: decresce em , cresce em
.
Extremo local: mínimo em , sem máximos locais.
Concavidade: côncava para cima em .
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço: conforme descrição no Passo 6.
y-intercepto em
Assíntota: reta oblíqua
Crescimento/decrescimento: decresce em
Extremo local: mínimo em
Concavidade: côncava para cima em
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço: conforme descrição no Passo 6.