Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
h(x)=e^x-x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
h(x)=e^x-x
determinando interceptos com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar o gráfico. Para isso vamos usar derivadas (primeira para monotonia e extremos, segunda para concavidade) e análise de limites (para assíntotas).

Passo 2

Interceptos com os eixos:
– Intercepto em y: basta x=0,
h(0)=e^0-0=1,
logo há intercepto (0,1).
– Intercepto em x: resolver
e^x-x=0Long<=ftrightarrow e^x=x
Mas para todo x real temos e^x>0 e x pode ser negativo ou positivo, e testando valores percebe-se que nunca se igualam. Portanto não há interceptos em x.

Passo 3

Assíntotas:
  1. Para xto+infty, e^xto+infty e não há assíntota horizontal ou oblíqua para cima.
  2. Para xto-infty, e^xto0 e
h(x) = e^x-x = -x + e^x
Como limxto -inftye^x=0, a reta y=-x é assíntota oblíqua.

Passo 4

Monotonia e extremos locais:
Calculemos a primeira derivada:
h'(x)=ddxl(e^x-xr)=e^x-1
Resolver h'(x)=0
e^x-1=0Longrightarrow x=0
– Para x<0, e^x<1 implica h'(x)<0: a função decresce em (-infty,0).
– Para x>0, e^x>1 implica h'(x)>0: a função cresce em (0,+infty).
Logo x=0 é ponto de mínimo local, com valor
h(0)=1
Não há máximos locais.

Passo 5

Concavidade e ponto de inflexão:
A segunda derivada é
h''(x)=ddx(e^x-1)=e^x
Como e^x>0 para todo x, a função é côncava para cima em toda reta real e não há ponto de inflexão.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
– Vem de -infty seguindo a assíntota y=-x,
– decresce até o mínimo em (0,1),
– depois cresce exponencialmente para +infty.

Resposta

Interceptos:
y-intercepto em (0,1), sem interceptos em x.
Assíntota: reta oblíqua y=-x para xto-infty.
Crescimento/decrescimento: decresce em (-infty,0), cresce em (0,infty).
Extremo local: mínimo em l(0,1r), sem máximos locais.
Concavidade: côncava para cima em R.
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço: conforme descrição no Passo 6.

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