Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para todo
, e pede: interceptos com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso usaremos derivadas e identidades trigonométricas.
Passo 2
Intercepto em
: basta
, então
Interceptos em
: resolver
que é equivalente a
Como se trata de soma de funções periódicas, não há assíntotas verticais nem horizontais.
Passo 3
Para monotonia, calculamos a derivada primeira:
Usando a identidade
, vemos que
e
Portanto
cresce em
e decresce em
para todo
.
Passo 4
Os pontos críticos são as raízes de
, ou seja
Em
ocorre mudança de
para
, logo máximos locais com valor
Em
ocorre mudança de
para
, logo mínimos locais com valor
Passo 5
Para concavidade, determinamos a segunda derivada:
As inflexões ocorrem quando
, ou seja
, isto é
Além disso
ou seja
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
Passo 6
Sabendo que
temos um senoide de amplitude
, fase
e período
. Os pontos principais num período são:
(zero),
(máximo),
(zero),
(mínimo),
(zero), voltando ao início em
.
Resposta
Interceptos:
x-interceptos em , y-intercepto em
.
Assíntotas: nenhuma.
Crescimento em .
Decrescimento em .
Máximos locais em com
.
Mínimos locais em com
.
Concavidade para baixo em .
Concavidade para cima em .
Pontos de inflexão em .
Gráfico: senoide de amplitude , fase
e período
, conforme descrito.
x-interceptos em
Assíntotas: nenhuma.
Crescimento em
Decrescimento em
Máximos locais em
Mínimos locais em
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Pontos de inflexão em
Gráfico: senoide de amplitude