Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
f(x)=sin x+cos x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=sin x+cos x
definida para todo xinR, e pede: interceptos com os eixos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso usaremos derivadas e identidades trigonométricas.

Passo 2

Intercepto em y: basta x=0, então
f(0)=sin0+cos0=0+1=1
Interceptos em x: resolver
sin x+cos x=0
que é equivalente a
tan x=-1Longrightarrow x=-pi4+kpi, kinZ
Como se trata de soma de funções periódicas, não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 3

Para monotonia, calculamos a derivada primeira:
f'(x)=cos x-sin x
Usando a identidade cos x-sin x=raiz2cosl(x+tfracpi4r), vemos que
f'(x)>0;Long<=ftrightarrow;cosl(x+tfracpi4r)>0
e
f'(x)<0;Long<=ftrightarrow;cosl(x+tfracpi4r)<0
Portanto f cresce em
l(-tfrac3pi4+2kpi,;tfracpi4+2kpir)
e decresce em
l(tfracpi4+2kpi,;tfrac5pi4+2kpir),
para todo kinZ.

Passo 4

Os pontos críticos são as raízes de f'(x), ou seja
x+tfracpi4 =tfracpi2+kpi ;Longrightarrow; x=tfracpi4+kpi
Em x=tfracpi4+2kpi ocorre mudança de f'>0 para f'<0, logo máximos locais com valor
fl(tfracpi4r)=sintfracpi4+costfracpi4=raiz2
Em x=tfracpi4+(2k+1)pi=tfrac5pi4+2kpi ocorre mudança de f'<0 para f'>0, logo mínimos locais com valor
fl(tfrac5pi4r)=sintfrac5pi4+costfrac5pi4=-raiz2

Passo 5

Para concavidade, determinamos a segunda derivada:
f''(x)=-sin x-cos x=-f(x)
As inflexões ocorrem quando f''(x)=0, ou seja sin x+cos x=0, isto é
x=-tfracpi4+kpi
Além disso
f''(x)>0;Long<=ftrightarrow;-l(sin x+cos xr)>0 ;Long<=ftrightarrow;sin x+cos x<0,
ou seja f é côncava para cima em
l(tfrac3pi4+2kpi,;tfrac7pi4+2kpir),
e côncava para baixo em
l(-tfracpi4+2kpi,;tfrac3pi4+2kpir)

Passo 6

Sabendo que
f(x)=sin x+cos x=raiz2;sinl(x+tfracpi4r),
temos um senoide de amplitude raiz2, fase -tfracpi4 e período 2pi. Os pontos principais num período são:
-tfracpi4,,0 (zero), tfracpi4,,raiz2 (máximo), tfrac3pi4,,0 (zero), tfrac5pi4,,-raiz2 (mínimo), tfrac7pi4,,0 (zero), voltando ao início em tfrac7pi4+2pi.

Resposta

Interceptos:
x-interceptos em x=-tfracpi4+kpi, y-intercepto em f(0)=1.
Assíntotas: nenhuma.
Crescimento em l(-tfrac3pi4+2kpi,tfracpi4+2kpir).
Decrescimento em l(tfracpi4+2kpi,tfrac5pi4+2kpir).
Máximos locais em x=tfracpi4+2kpi com f=raiz2.
Mínimos locais em x=tfrac5pi4+2kpi com f=-raiz2.
Concavidade para baixo em l(-tfracpi4+2kpi,tfrac3pi4+2kpir).
Concavidade para cima em l(tfrac3pi4+2kpi,tfrac7pi4+2kpir).
Pontos de inflexão em x=-tfracpi4+kpi.
Gráfico: senoide de amplitude raiz2, fase -tfracpi4 e período 2pi, conforme descrito.

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