Determine se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty ne^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftyne^n.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da razão para determinar se ela converge.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definimos
an = ne^n
Então
an+1an = n+1e^,n+1ne^n = n+1n,e^ne^,n+1 = n+1n,1e = 1 + 1ne
Agora tomamos o limite:
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty1 + 1ne = 1e

Passo 3

Como L = 1e < 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyne^n converge.

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