Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
f(x)=tan x

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=tan x
—including interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico.
O conteúdo utilizado envolve derivadas de funções trigonométricas e estudo de sinal de primeira e segunda derivadas.

Passo 2

Determinamos domínio e interceptos.
O domínio de tan x é
Rsetminusl,tfracpi2+kpimid kinZr,
pois em x=tfracpi2+kpi o cosseno anula e a tangente diverge.
Os zeros (interceptos em x) satisfazem tan x=0, ou seja
x=kpi, kinZ,
logo há interceptos em l(kpi,0r). Em particular o intercepto em y é (0,0).

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem onde a função diverge, isto é em
x=pi2+kpi, kinZ
Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois em cada ramo tan xtopminfty próximo a essas verticais e a tangente não se aproxima de constante nem de reta não vertical em pminfty.

Passo 4

Estudamos o crescimento/decrescimento e extremos locais.
f'(x)=sec^2 x>0
para todo x no domínio. Isso mostra que em cada intervalo
l(-tfracpi2+kpi,;tfracpi2+kpir)
a função é estritamente crescente. Portanto não há máximos nem mínimos locais, pois não há troca de sinal de f'.

Passo 5

Estudamos concavidade e pontos de inflexão.
f''(x)=ddxl(sec^2 xr) =2sec^2 xtan x
O sinal de f''(x) coincide com o sinal de tan x. Assim:
  • Concavidade para cima ( f''>0) em
    xinl(0,tfracpi2r)cupl(pi,tfrac3pi2r)cupcdots
    i.e.\ onde tan x>0.
  • Concavidade para baixo ( f''<0) em
    xinl(-tfracpi2,0r)cupl(tfracpi2,pir)cupcdots
    i.e.\ onde tan x<0.
Há troca de concavidade exatamente quando tan x=0, ou seja em
x=kpi, kinZ,
que são pontos de inflexão (e coincidem com os interceptos).

Passo 6

Esboço do gráfico. Em cada período de comprimento pi:
  • O ramo parte de -infty junto à assíntota vertical x=-tfracpi2+kpi.
  • Cresce passando por l(kpi,0r) como ponto de inflexão.
  • Diverge a +infty ao se aproximar de x=tfracpi2+kpi.
  • O padrão se repete a cada pi.

Resposta

Interceptos:
Os zeros são em l(kpi,0r), kinZ; intercepto em y é (0,0).
Assíntotas:
Verticais em x=tfracpi2+kpi, kinZ.
Crescimento/decrescimento:
tan x é estritamente crescente em cada intervalo l(-tfracpi2+kpi,;tfracpi2+kpir).
Não há extremos locais.
Concavidade e pontos de inflexão:
Concavidade para cima em xmidtan x>0, concavidade para baixo em xmidtan x<0.
Pontos de inflexão em x=kpi, f(kpi)=0.
Gráfico:
Ramos periódicos de período pi, cada ramo cresce de -infty a +infty cruzando o eixo x em kpi e tendo assíntotas verticais em tfracpi2+kpi.

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