Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
—including interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico.
O conteúdo utilizado envolve derivadas de funções trigonométricas e estudo de sinal de primeira e segunda derivadas.
O conteúdo utilizado envolve derivadas de funções trigonométricas e estudo de sinal de primeira e segunda derivadas.
Passo 2
Determinamos domínio e interceptos.
O domínio de é
O domínio de
pois em
o cosseno anula e a tangente diverge.
Os zeros (interceptos em ) satisfazem
, ou seja
Os zeros (interceptos em
logo há interceptos em
. Em particular o intercepto em
é
.
Passo 3
As assíntotas verticais ocorrem onde a função diverge, isto é em
Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois em cada ramo
próximo a essas verticais e a tangente não se aproxima de constante nem de reta não vertical em
.
Passo 4
Estudamos o crescimento/decrescimento e extremos locais.
para todo
no domínio. Isso mostra que em cada intervalo
a função é estritamente crescente. Portanto não há máximos nem mínimos locais, pois não há troca de sinal de
.
Passo 5
Estudamos concavidade e pontos de inflexão.
O sinal de
coincide com o sinal de
. Assim:
-
Concavidade para cima (
) em i.e.\ onde. -
Concavidade para baixo (
) em i.e.\ onde.
Há troca de concavidade exatamente quando
, ou seja em
que são pontos de inflexão (e coincidem com os interceptos).
Passo 6
Esboço do gráfico. Em cada período de comprimento
:
- O ramo parte de
junto à assíntota vertical . - Cresce passando por
como ponto de inflexão. - Diverge a
ao se aproximar de . - O padrão se repete a cada
.
Resposta
Interceptos:
Os zeros são em ,
; intercepto em
é
.
Os zeros são em
Assíntotas:
Verticais em ,
.
Verticais em
Crescimento/decrescimento:
é estritamente crescente em cada intervalo
.
Não há extremos locais.
Não há extremos locais.
Concavidade e pontos de inflexão:
Concavidade para cima em , concavidade para baixo em
.
Pontos de inflexão em ,
.
Concavidade para cima em
Pontos de inflexão em
Gráfico:
Ramos periódicos de período , cada ramo cresce de
a
cruzando o eixo
em
e tendo assíntotas verticais em
.
Ramos periódicos de período