Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
g(x)=x^4-4 x^2

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
g(x)=x^4-4x^2
incluindo interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e um esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.

Passo 2

Interceptos em x (raízes) obtêm-se resolvendo
g(x)=x^4-4x^2 = x^2(x^2-4)=0,
logo x=0 ou x^2=4Rightarrow x=pm 2. Os interceptos são (0,0) e (pm 2,0).
Intercepto em y é g(0)=0, que já temos.
Como é polinômio de grau 4, não há assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada e fazemos o teste da primeira derivada:
g'(x)=4x^3-8x=4x,(x^2-2)
As raízes de g'(x) são x=0,pmraiz2. Analisando o sinal de g'(x):
  • Em x<-raiz2: x<0 e x^2-2>0 Rightarrow g'(x)<0 (decrescente).
  • Em -raiz2<x<0: x<0 e x^2-2<0 Rightarrow g'(x)>0 (crescente).
  • Em 0<x<raiz2: x>0 e x^2-2<0 Rightarrow g'(x)<0 (decrescente).
  • Em x>raiz2: x>0 e x^2-2>0 Rightarrow g'(x)>0 (crescente).
Logo:
  • Máximo local em x=0, com g(0)=0.
  • Mínimos locais em x=pmraiz2, com g(pmraiz2)=(raiz2)^4-4(raiz2)^2=4-8=-4

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade e pontos de inflexão:
g''(x)=12x^2-8
Zera em
12x^2-8=0;Rightarrow;x^2=tfrac23;Rightarrow;x=pmraiztfrac23
  • Para |x|>raiztfrac23: g''(x)>0 Rightarrow concava para cima.
  • Para |x|<raiztfrac23: g''(x)<0 Rightarrow concava para baixo.
Os pontos de inflexão são
l(pmraiztfrac23,,g(pmraiztfrac23)r), gl(pmraiztfrac23r) =l(tfrac23r)^2-4l(tfrac23r) =tfrac49-tfrac83 =-tfrac209

Passo 5

Esboço verbal do gráfico:
  • A função é par ( g(-x)=g(x)), formato de “W” simétrico.
  • Máximo local em (0,0).
  • Mínimos locais em l(pmraiz2,-4r).
  • Raízes em (pm2,0).
  • Concavidade para baixo em l(-raiztfrac23,raiztfrac23r) e para cima fora desse intervalo.
  • Pontos de inflexão em l(pmraiztfrac23,-tfrac209r).

Resposta

Interceptos: (0,0) e (pm2,0)
Assíntotas: nenhuma
Crescente: l(-raiz2,0r)cupl(raiz2,inftyr)
Decrescente: l(-infty,-raiz2r)cupl(0,raiz2r)
Máximo local: (0,0)
Mínimos locais: l(pmraiz2,-4r)
Concavidade para cima: l(-infty,-raiztfrac23r)cupl(raiztfrac23,inftyr)
Concavidade para baixo: l(-raiztfrac23,raiztfrac23r)
Pontos de inflexão: l(pmraiztfrac23,-tfrac209r)
Esboço: curva em “W” simétrica, com máximo em x=0, mínimos em x=pmraiz2, inflexões em x=pmraiztfrac23.

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