Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
incluindo interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e um esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Passo 2
Interceptos em
(raízes) obtêm-se resolvendo
logo
ou
. Os interceptos são
e
.
Intercepto em é
, que já temos.
Como é polinômio de grau , não há assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas.
Intercepto em
Como é polinômio de grau
Passo 3
Calculamos a primeira derivada e fazemos o teste da primeira derivada:
As raízes de
são
. Analisando o sinal de
:
- Em
: e (decrescente). - Em
: e (crescente). - Em
: e (decrescente). - Em
: e (crescente).
Logo:
- Máximo local em
, com . - Mínimos locais em
, com
Passo 4
Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade e pontos de inflexão:
Zera em
- Para
: concava para cima. - Para
: concava para baixo.
Os pontos de inflexão são
Passo 5
Esboço verbal do gráfico:
- A função é par (
), formato de “W” simétrico. - Máximo local em
. - Mínimos locais em
. - Raízes em
. - Concavidade para baixo em
e para cima fora desse intervalo. - Pontos de inflexão em
.
Resposta
Interceptos:
e
Assíntotas: nenhuma
Crescente:
Decrescente:
Máximo local:
Mínimos locais:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão:
Esboço: curva em “W” simétrica, com máximo em , mínimos em
, inflexões em
.
Assíntotas: nenhuma
Crescente:
Decrescente:
Máximo local:
Mínimos locais:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão:
Esboço: curva em “W” simétrica, com máximo em