Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
h(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função h(x)=ln(x^2+1): determinar interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico. Vamos usar análise de domínio, limites, derivada primeira e segunda para fazer esse estudo.

Passo 2

Domínio e interceptos. Como x^2+1>0 para todo xinR, o domínio é R.
Para o intercepto em y, avaliamos h(0)=ln(0^2+1)=ln(1)=0, logo passa por (0,0).
Para os interceptos em x, resolvemos ln(x^2+1)=0, isto é x^2+1=1Rightarrow x=0. Só há o ponto (0,0).

Passo 3

Assíntotas. Não há assíntotas verticais porque o domínio é todo R.
Para xtopminfty,
limxtopminftyln(x^2+1)=+infty,
logo não há assíntotas horizontais nem oblíquas (pois ln(x^2+1)/xto0).

Passo 4

Crescimento, decrescimento e extremos. Calculamos a derivada primeira:
h'(x)=2xx^2+1
Igualando a zero vem x=0. Analisando o sinal de h'(x): se x<0, h'(x)<0 (decresce); se x>0, h'(x)>0 (cresce). Portanto há mínimo local (e global) em x=0 com valor h(0)=0. Não há máximos locais.

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão. A derivada segunda é
h''(x)=2-2x^2(x^2+1)^2=21-x^2(x^2+1)^2
Observe que h''(x)>0 para |x|<1 (concavidade para cima) e h''(x)<0 para |x|>1 (concavidade para baixo). Há mudança de concavidade em x=pm1, e
h(pm1)=ln(1^2+1)=ln2,
dando pontos de inflexão em l(-1,ln2r) e l(1,ln2r).

Passo 6

Esboço do gráfico. A curva é simétrica em relação ao eixo y, tem mínimo global em (0,0), inflexões em l(pm1,ln2r), decresce até x=0 e cresce para xto+infty, sem assíntotas, subindo indefinidamente.

Resposta

Interceptos: (0,0).
Assíntotas: nenhuma.
Cresce em (0,infty), decresce em (-infty,0).
Extremo: mínimo global em (0,0).
Concavidade para cima em (-1,1), para baixo em (-infty,-1)cup(1,infty).
Pontos de inflexão em l(-1,ln2r) e l(1,ln2r).
Gráfico simétrico em relação ao eixo y, sem assíntotas e crescente para pminfty.

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