Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
: determinar interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico. Vamos usar análise de domínio, limites, derivada primeira e segunda para fazer esse estudo.
Passo 2
Domínio e interceptos. Como
para todo
, o domínio é
.
Para o intercepto em , avaliamos
, logo passa por
.
Para os interceptos em , resolvemos
, isto é
. Só há o ponto
.
Para o intercepto em
Para os interceptos em
Passo 3
Assíntotas. Não há assíntotas verticais porque o domínio é todo
.
Para ,
Para
logo não há assíntotas horizontais nem oblíquas (pois
).
Passo 4
Crescimento, decrescimento e extremos. Calculamos a derivada primeira:
Igualando a zero vem
. Analisando o sinal de
: se
,
(decresce); se
,
(cresce). Portanto há mínimo local (e global) em
com valor
. Não há máximos locais.
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão. A derivada segunda é
Observe que
para
(concavidade para cima) e
para
(concavidade para baixo). Há mudança de concavidade em
, e
dando pontos de inflexão em
e
.
Passo 6
Esboço do gráfico. A curva é simétrica em relação ao eixo
, tem mínimo global em
, inflexões em
, decresce até
e cresce para
, sem assíntotas, subindo indefinidamente.
Resposta
Interceptos:
.
Assíntotas: nenhuma.
Cresce em , decresce em
.
Extremo: mínimo global em .
Concavidade para cima em , para baixo em
.
Pontos de inflexão em e
.
Gráfico simétrico em relação ao eixo , sem assíntotas e crescente para
.
Assíntotas: nenhuma.
Cresce em
Extremo: mínimo global em
Concavidade para cima em
Pontos de inflexão em
Gráfico simétrico em relação ao eixo