Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
f(x)=1x^2+1

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=1x^2+1
ou seja, determinar interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas.

Passo 2

Interceptos
– Intercepto em y: basta calcular f(0).
f(0)=10^2+1=1,
logo o gráfico passa por (0,1).
– Interceptos em x: resolver tfrac1x^2+1=0 não tem solução real, pois x^2+1>0 para todo x. Logo não há interceptos em x.

Passo 3

Assíntotas
– Vertical: o domínio é todo o conjunto dos reais, não há ponto em que o denominador zere, logo não há assíntota vertical.
– Horizontal:
limxtopminftyf(x)=limxtopminfty1x^2+1=0,
portanto y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Monotonicidade e extremos locais
Calculemos a primeira derivada:
f'(x) =ddxl((x^2+1)^-1r) =-1cdot(x^2+1)^-2cdot2x =-2x(x^2+1)^2
– Zeros de f': f'(x)=0 se, e só se, x=0.
– Sinal de f':
f'(x)>0iff -2x>0iff x<0, f'(x)<0iff x>0
Logo f cresce em (-infty,0) e decresce em (0,infty).
Em x=0 há um máximo local (na verdade global no domínio) com valor
f(0)=1

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão
Derivando f' obtemos
f''(x) =ddxl(-2x,(x^2+1)^-2r) =2,3x^2-1(x^2+1)^3
– Sinal de f'':
f''(x)>0iff 3x^2-1>0iff |x|>1raiz3,
f''(x)<0iff |x|<1raiz3
Assim, f é côncava para cima em (-infty,-1/raiz3)cup(1/raiz3,infty) e côncava para baixo em (-1/raiz3,1/raiz3).
Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0, ou seja,
x=pm1raiz3,
com as ordenadas
fl(pm1raiz3r) =1(tfrac13)+1 =34

Passo 6

Esboço do gráfico
A função é par ( f(-x)=f(x)), tem máximo em (0,1), decresce de forma simétrica para zero quando xtopminfty, com mudança de concavidade em x=pm1/raiz3. A assíntota horizontal é y=0.

Resposta

Interceptos:
y-intercepto em (0,1); nenhum x-intercepto.
Assíntotas:
nenhuma vertical; horizontal y=0.
Monotonicidade:
cresce em (-infty,0), decresce em (0,infty).
Extremo local:
máximo em x=0 com f(0)=1.
Concavidade:
côncava para cima em (-infty,-tfrac1raiz3)cup(tfrac1raiz3,infty), côncava para baixo em (-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3).
Pontos de inflexão:
l(pmtfrac1raiz3,tfrac34r).
Gráfico: função par, decresce de 1 em x=0 até 0 em pminfty, muda concavidade em pm1/raiz3, assíntota y=0.

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