Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
ou seja, determinar interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas.
Passo 2
Interceptos
– Intercepto em : basta calcular
.
– Intercepto em
logo o gráfico passa por
.
– Interceptos em : resolver
não tem solução real, pois
para todo
. Logo não há interceptos em
.
– Interceptos em
Passo 3
Assíntotas
– Vertical: o domínio é todo o conjunto dos reais, não há ponto em que o denominador zere, logo não há assíntota vertical.
– Horizontal:
– Vertical: o domínio é todo o conjunto dos reais, não há ponto em que o denominador zere, logo não há assíntota vertical.
– Horizontal:
portanto
é assíntota horizontal.
Passo 4
Monotonicidade e extremos locais
Calculemos a primeira derivada:
Calculemos a primeira derivada:
– Zeros de
:
se, e só se,
.
– Sinal de :
– Sinal de
Logo
cresce em
e decresce em
.
Em há um máximo local (na verdade global no domínio) com valor
Em
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão
Derivando obtemos
Derivando
– Sinal de
:
Assim,
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Pontos de inflexão ocorrem onde , ou seja,
Pontos de inflexão ocorrem onde
com as ordenadas
Passo 6
Esboço do gráfico
A função é par ( ), tem máximo em
, decresce de forma simétrica para zero quando
, com mudança de concavidade em
. A assíntota horizontal é
.
A função é par (
Resposta
Interceptos:
-intercepto em
; nenhum
-intercepto.
Assíntotas:
nenhuma vertical; horizontal .
nenhuma vertical; horizontal
Monotonicidade:
cresce em , decresce em
.
cresce em
Extremo local:
máximo em com
.
máximo em
Concavidade:
côncava para cima em , côncava para baixo em
.
côncava para cima em
Pontos de inflexão:
.
Gráfico: função par, decresce de 1 em
até 0 em
, muda concavidade em
, assíntota
.