Calcule as integrais indefinidas abaixo.
integral(x^2+x) cos x d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral (x^2+x)cos x,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos escolher u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2+x, dv = cos x,dx
Então
du = (2x+1),dx, v = integral cos x,dx = sin x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral (x^2+x)cos x,dx = u,v - integral v,du = (x^2+x),sin x ;-;integral sin x,(2x+1),dx

Passo 4

Expandimos a parte restante:
integral sin x,(2x+1),dx = 2integral xsin x,dx ;+;integral sin x,dx
Primeiro, calculemos integral xsin x,dx por partes:
escolhemos u1=x, dv1=sin x,dx, daí
du1=dx, v1=-cos x,
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integral xsin x,dx = u1v1-integral v1du1 = -xcos x - integral(-cos x),dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x
E sabemos que
integral sin x,dx = -cos x
Portanto
integral sin x,(2x+1),dx = 2l(-xcos x + sin xr) ;+; (-cos x) = -2xcos x + 2sin x - cos x

Passo 5

Voltando à expressão principal:
integral (x^2+x)cos x,dx = (x^2+x)sin x ;-;l(-2xcos x + 2sin x - cos xr)
= (x^2+x)sin x +2xcos x -2sin x +cos x + C
Podemos reorganizar em forma mais compacta:

Resposta

integral (x^2+x)cos x,dx = l(x^2+x-2r)sin x + (2x+1)cos x + C

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