Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado, na direção do vetor v : f(x, y)=ln y^2+x^2, P=(2,1), v=(-1,2).
*Dica: Verifique se o vetor v é unitário.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=ln y^2+x^2
no ponto P=(2,1) na direção do vetor vec v =(-1,2). Para isso precisamos de três ingredientes:
  1. verificar se vec v já é unitário (caso não seja, normalizar);
  2. calcular o gradiente nabla f;
  3. fazer o produto escalar nabla f(P)cdot vec u, onde vec u é o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Calculamos a norma de vec v:
|vec v| = raiz(-1)^2+2^2 = raiz1+4 = raiz5
Como |vec v|neq1, obtemos o vetor unitário
vec u = vec v|vec v| = l(-1raiz5,;2raiz5r)

Passo 3

Agora achamos o gradiente de f. Como
f(x,y)=ln y^2+x^2,
temos
partial fpartial x = 2x, partial fpartial y = ddyl(ln y^2r) = 2yy^2 = 2y
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nabla f(x,y) = l(2x,;2/yr)

Passo 4

Avaliamos o gradiente em P=(2,1):
nabla f(2,1) = l(2cdot2,;2/1r) = (4,,2)

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção de vec v é
Dvec uf(P) = nabla f(2,1)cdot vec u = (4,2)cdotl(-tfrac1raiz5,;tfrac2raiz5r) = -4 + 4raiz5 = 0

Resposta

A derivada direcional de f em P=(2,1) na direção de vec v=(-1,2) é 0.

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