Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
incluindo interceptos com os eixos, assíntotas, monotonicidade (crescimento e decrescimento), extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e um esboço do gráfico. Para isso vamos precisar fatorar
, calcular
e
e analisar seus sinais.
Passo 2
Para achar os interceptos com o eixo
resolvemos
logo
(multiplicidade 2) e
. Os pontos de intercepto são
e
. O intercepto com o eixo
é dado por
, isto é,
.
Passo 3
Como
é um polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais nem horizontais. Para
o comportamento é dominado pelo termo
, sem assíntota além do próprio crescimento cúbico.
Passo 4
A derivada primeira é
Os pontos críticos são
e
. Analisando o sinal de
:
para temos
(
crescente); para
temos
(
decrescente); para
(
crescente). Logo em
ocorre um máximo local com
e em
um mínimo local com
para
Passo 5
A derivada segunda é
Temos
para
(concavidade para baixo) e
para
(concavidade para cima). Assim
é ponto de inflexão, com
isto é, ponto de inflexão em
.
Passo 6
Esboçando o gráfico de
: para
; a curva cresce até o máximo local em
; depois decresce até o mínimo local em
, mudando de concavidade em
; finalmente cresce para
e atravessa novamente o eixo
em
.
Resposta
Interceptos:
(multiplicidade 2) e
.
Assíntotas: não há.
Crescimento: e
.
Decrescimento: .
Máximo local: .
Mínimo local: .
Concavidade para baixo: .
Concavidade para cima: .
Ponto de inflexão: .
Esboço: curva cúbica com padrão crescente–decrescente–crescente, conforme descrito acima.
Assíntotas: não há.
Crescimento:
Decrescimento:
Máximo local:
Mínimo local:
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
Ponto de inflexão:
Esboço: curva cúbica com padrão crescente–decrescente–crescente, conforme descrito acima.