Para cada função, determine os interceptos, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboce o gráfico:
f(x)=x^3-3 x^2

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=x^3-3x^2
incluindo interceptos com os eixos, assíntotas, monotonicidade (crescimento e decrescimento), extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e um esboço do gráfico. Para isso vamos precisar fatorar f(x), calcular f'(x) e f''(x) e analisar seus sinais.

Passo 2

Para achar os interceptos com o eixo x resolvemos
x^3-3x^2=0Longrightarrow x^2(x-3)=0,
logo x=0 (multiplicidade 2) e x=3. Os pontos de intercepto são (0,0) e (3,0). O intercepto com o eixo y é dado por f(0)=0, isto é, (0,0).

Passo 3

Como f é um polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais nem horizontais. Para lvert xrverttoinfty o comportamento é dominado pelo termo x^3, sem assíntota além do próprio crescimento cúbico.

Passo 4

A derivada primeira é
f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)
Os pontos críticos são x=0 e x=2. Analisando o sinal de f':
para x<0 temos f'>0 ( f crescente); para 0<x<2 temos f'<0 ( f decrescente); para x>2 f'>0 ( f crescente). Logo em x=0 ocorre um máximo local com f(0)=0 e em x=2 um mínimo local com
f(2)=2^3-3cdot2^2=8-12=-4

Passo 5

A derivada segunda é
f''(x)=6x-6=6(x-1)
Temos f''(x)<0 para x<1 (concavidade para baixo) e f''(x)>0 para x>1 (concavidade para cima). Assim x=1 é ponto de inflexão, com
f(1)=1^3-3cdot1^2=1-3=-2,
isto é, ponto de inflexão em (1,-2).

Passo 6

Esboçando o gráfico de f: para xto -infty f(x)to -infty; a curva cresce até o máximo local em (0,0); depois decresce até o mínimo local em (2,-4), mudando de concavidade em (1,-2); finalmente cresce para +infty e atravessa novamente o eixo x em (3,0).

Resposta

Interceptos: (0,0) (multiplicidade 2) e (3,0).
Assíntotas: não há.
Crescimento: x<0 e x>2.
Decrescimento: 0<x<2.
Máximo local: (0,0).
Mínimo local: (2,-4).
Concavidade para baixo: x<1.
Concavidade para cima: x>1.
Ponto de inflexão: (1,-2).
Esboço: curva cúbica com padrão crescente–decrescente–crescente, conforme descrito acima.

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