Calcular as integrais:
integral 2 x^2-4 x-55x^3-5 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x^2-4x-55x^3-5x^2,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais por decomposição em frações parciais. Para isso, precisamos fatorar o denominador e escrever a função como soma de termos mais simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^3-5x^2 = x^2(x-5)
Assim, queremos decompor
2x^2-4x-55x^2(x-5)
em frações parciais.

Passo 3

Procuramos constantes A, B e C tais que
2x^2-4x-55x^2(x-5) = Ax + Bx^2 + Cx-5
Multiplicando ambos os lados por x^2(x-5), obtemos
2x^2-4x-55 = A,x(x-5) + B,(x-5) + C,x^2

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando termos em potências de
Comparando com , temos o sistema
Da última equação vem leva a . Finalmente, de obtemos .

Passo 5

Com A=3, B=11 e C=-1, reescrevemos a integral como
integrall(3x + 11x^2 - 1x-5r),dx
Integramos termo a termo:
integral 3x,dx = 3lnlvert xrvert, integral 11x^2,dx = 11integral x^-2,dx = -11x, integral -1x-5,dx = -lnlvert x-5rvert

Resposta

3lnlvert xrvert ;-;lnlvert x-5rvert ;-;11x + C

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