Definir uma função k de período 2 L tal que
k(x)=f(x), 0 <= x <= L,
e defina k(x) em (-L, 0) de qualquer maneira consistente com as condições do Teorema 10.3.1. Algumas vezes, é conveniente definir k(x) como sendo zero para -L<x<0. A série de Fourier de k, que envolve termos tanto em senos como em co-senos, também representa f em [0, L], inde-
pendentemente do modo que é definida k(x) em (-L, 0). Portanto, existe uma infinidade de tais séries, todas convergindo para f(x) no intervalo original.

Passo 1

O enunciado pede para estender uma função f, originalmente definida em [0,L], a todo o eixo real de modo periódico de período 2L. O truque é definir uma nova função k em (-L,0) de qualquer forma que respeite as hipóteses do Teorema 10.3.1 (por exemplo, de classe piecewise contínua), e depois repetir esse trecho com período 2L. A matéria envolvida é Série de Fourier de período 2L, que nos permitirá representar f(x) em [0,L] por termos em cossenos e senos.

Passo 2

Definimos
k(x) = f(x), & 0 <= x <= L, 0, & -L < x < 0,
e então estendemos k com período 2L, isto é, para todo xinR definimos
k(x+2L) = k(x)
Essa escolha de k(x)=0 em (-L,0) é apenas uma conveniência; poderíamos ter usado outra definição ali e o resultado final em [0,L] seria o mesmo.

Passo 3

A série de Fourier de k de período 2L é dada por
k(x) sim a02 + sumn=1^inftyl[ancosl(tfracnpi xLr) + bnsinl(tfracnpi xLr)r],
onde os coeficientes são calculados em um período, por exemplo [-L,L].

Passo 4

Como k(x)=0 em (-L,0) e k(x)=f(x) em (0,L), os coeficientes ficam
an = 1Lintegral-L^Lk(x)cosl(tfracnpi xLr),dx = 1Lintegral0^Lf(x)cosl(tfracnpi xLr),dx,
bn = 1Lintegral-L^Lk(x)sinl(tfracnpi xLr),dx = 1Lintegral0^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr),dx,
e
a0 = 1Lintegral0^Lf(x),dx

Passo 5

Pelo Teorema 10.3.1, essa série converge para k(x) em todos os pontos de continuidade de k e, em consequência, para f(x) quando xin(0,L). Logo, temos uma representação de f(x) em [0,L] através de termos de cossenos e senos, sem depender de como k foi definida em (-L,0).

Resposta

Definindo
k(x)= f(x), & 0<= x<= L, 0, & -L<x<0, k(x+2L)=k(x),
a série de Fourier de k é
f(x)=a02+sumn=1^inftyl[ancosl(tfracnpi xLr)+bnsinl(tfracnpi xLr)r],
com
an=1Lintegral0^Lf(x)cosl(tfracnpi xLr),dx, bn=1Lintegral0^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr),dx, a0=1Lintegral0^Lf(x),dx
Essa fórmula converge para f(x) em [0,L] e é válida independentemente da extensão escolhida em (-L,0).

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