e defina em de qualquer maneira consistente com as condições do Teorema 10.3.1. Algumas vezes, é conveniente definir como sendo zero para . A série de Fourier de , que envolve termos tanto em senos como em co-senos, também representa em , inde-
pendentemente do modo que é definida em . Portanto, existe uma infinidade de tais séries, todas convergindo para no intervalo original.
Passo 1
O enunciado pede para estender uma função , originalmente definida em , a todo o eixo real de modo periódico de período . O truque é definir uma nova função em de qualquer forma que respeite as hipóteses do Teorema 10.3.1 (por exemplo, de classe piecewise contínua), e depois repetir esse trecho com período . A matéria envolvida é Série de Fourier de período , que nos permitirá representar em por termos em cossenos e senos.
Passo 2
Definimos
e então estendemos k com período 2L, isto é, para todo xinR definimos
k(x+2L) = k(x)
Essa escolha de k(x)=0 em (-L,0) é apenas uma conveniência; poderíamos ter usado outra definição ali e o resultado final em [0,L] seria o mesmo.
Pelo Teorema 10.3.1, essa série converge para k(x) em todos os pontos de continuidade de k e, em consequência, para f(x) quando xin(0,L). Logo, temos uma representação de f(x) em [0,L] através de termos de cossenos e senos, sem depender de como k foi definida em (-L,0).