Calcular as integrais:
integral 2 x^2-7(x^2+4)(x-1) d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral 2x^2-7(x^2+4)(x-1),dxConteúdo: funções racionais e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para usar frações parciais, escrevemos a função como soma de termos simples. Assumimos:
2x^2-7(x^2+4)(x-1)=Ax-1+Bx+Cx^2+4
Multiplicando ambos os lados por (x^2+4)(x-1), obtemos a identidade
2x^2-7 = A(x^2+4) + (Bx+C)(x-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito para comparar coeficientes:
A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1)=A x^2+4A + Bx^2-Bx + Cx - C = (A+B)x^2 + (C - B)x + (4A - C)

Passo 4

Igualando aos coeficientes de 2x^2+0x -7 temos o sistema:
A + B = 2, C - B = 0, 4A - C = -7Da segunda equação C=B. Substituindo em A+B=2 B=2-A, e em 4A-C=-7 vira 4A-(2-A)=-7 daí 5A= -5 então A=-1, B=3, C=3

Passo 5

Substituindo de volta na decomposição:
2x^2-7(x^2+4)(x-1) = -1x-1 + 3x+3x^2+4

Passo 6

Agora dividimos a integral em três partes:
integral -1x-1dx + integral 3xx^2+4dx + integral 3x^2+4dx

Passo 7

Integramos cada termo:
  1. integral -1x-1dx = -ln|x-1|
  2. Para integral 3xx^2+4dx fazemos u=x^2+4, du=2x,dx, ficando 32ln(x^2+4)
  3. Em integral 3x^2+4dx usamos integral dxx^2+a^2=1aarctan(xa) com a=2, dando 32arctan(x2)

Resposta

-\ln|x-1| + \frac{3}{2}\ln(x^{2}+4) + \frac{3}{2}\arctan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C

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