Para cada função determine o período e o conjunto imagem, construindo o gráfico de um período completo.
f: R \rightarrow R \mid f(x)=3+\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=3+\operatorname{sen}(x)
que a gente determine o período, o conjunto imagem e ainda “desenhe” um período completo. O assunto aqui é função trigonométrica básica com deslocamento vertical.

Passo 2

Lembrando que a função \operatorname{sen}(x) tem período 2\pi e imagem [-1,1]. Como f(x) é exatamente \operatorname{sen}(x) deslocada para cima de 3 unidades, isso não muda o período, só muda a posição vertical.

Passo 3

Para o conjunto imagem, basta pegar [-1,1] e somar 3 em toda parte. Logo
\operatorname{Im}f = [-1+3,\;1+3]=[2,4].

Passo 4

Para “desenhar” um período, considere x variando de 0 até 2\pi. Os pontos principais são: \,x=0\mapsto f(0)=3, \,x=\tfrac{\pi}{2}\mapsto f(\tfrac{\pi}{2})=4, \,x=\pi\mapsto f(\pi)=3, \,x=\tfrac{3\pi}{2}\mapsto f(\tfrac{3\pi}{2})=2, \,x=2\pi\mapsto f(2\pi)=3.
Entre esses pontos a curva sobe suavemente de 3 até 4, desce até 2 e volta a 3, formando a clássica “ondinha” senoidal, mas centrada em y=3 com amplitude 1.

Resposta

Período: 2\pi
Conjunto imagem: [2,4]

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