Sabendo que \operatorname{sen} x+\cos x=\frac{17}{13}, quanto vale \operatorname{sen} 2 x ?

Passo 1

O enunciado dá \sin x + \cos x = \tfrac{17}{13} e pede \sin2x. Vamos usar a identidade
(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x
e a definição \sin2x = 2\sin x\cos x.

Passo 2

Eleva-mos ambos os lados ao quadrado:
(\sin x + \cos x)^2 = \Bigl(\tfrac{17}{13}\Bigr)^2
pela identidade de Pitágoras \sin^2 x + \cos^2 x = 1 isso vira
1 + 2\sin x\cos x = \frac{289}{169}.

Passo 3

Isolando 2\sin x\cos x, que é \sin2x, temos
\sin2x = 2\sin x\cos x = \frac{289}{169} - 1 = \frac{289 - 169}{169} = \frac{120}{169}.

Resposta

\sin2x = \frac{120}{169}.

Exercícios relacionados